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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的几种特性5

1.1.3 反函数与复合函数8

1.1.4 初等函数11

习题1.112

1.2 数列的极限13

1.2.1 极限概念的引例13

1.2.2 数列极限的定义14

1.2.3 收敛数列的性质16

习题1.218

1.3 函数的极限19

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限19

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限21

1.3.3 函数极限的性质23

习题1.323

1.4 无穷小与无穷大24

1.4.1 无穷小24

1.4.2 无穷大26

1.4.3 无穷小与无穷大的关系27

习题1.427

1.5 极限的运算法则28

1.5.1 极限的四则运算法则28

1.5.2 复合函数极限的运算法则31

习题1.532

1.6 极限存在准则两个重要极限33

1.6.1 夹逼准则33

1.6.2 单调有界收敛准则36

习题1.638

1.7 无穷小的比较39

习题1.741

1.8 函数的连续性与间断点42

1.8.1 函数的连续性42

1.8.2 函数的间断点44

1.8.3 连续函数的运算法则46

1.8.4 初等函数的连续性47

习题1.849

1.9 闭区间上连续函数的性质50

1.9.1 最大值与最小值定理及有界性定理50

1.9.2 零点定理与介值定理52

习题1.953

复习题153

数学家简介——刘徽55

第2章 导数与微分57

2.1 导数的概念57

2.1.1 引例57

2.1.2 导数的概念58

2.1.3 导数的几何意义62

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系63

习题2.163

2.2 函数的求导法则64

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则64

2.2.2 复合函数的导数66

2.2.3 反函数的求导法则67

2.2.4 初等函数的导数68

习题2.269

2.3 高阶导数70

2.3.1 高阶导数的概念70

2.3.2 高阶导数的运算法则72

习题2.373

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数74

2.4.1 隐函数的导数74

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数76

习题2.477

2.5 函数的微分78

2.5.1 微分的概念78

2.5.2 微分的几何意义80

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则81

2.5.4 微分在近似计算中的应用83

习题2.584

复习题284

数学家简介——牛顿86

第3章 微分中值定理与导数的应用88

3.1 微分中值定理88

3.1.1 罗尔（Rolle）定理88

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理89

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理91

习题3.192

3.2 洛必达（L'hospital）法则92

3.2.1 0/0型未定式92

3.2.2 ∞/∞型未定式94

3.2.3 其他类型未定式95

习题3.296

3.3 泰勒公式97

3.3.1 泰勒（Taylor）中值定理97

3.3.2 几个重要初等函数的麦克劳林公式99

习题3.3101

3.4 函数的单调性与极值102

3.4.1 函数的单调性102

3.4.2 函数的极值105

习题3.4108

3.5 函数的最大值与最小值及其应用108

习题3.5112

3.6 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘112

3.6.1 曲线的凹凸性与拐点112

3.6.2 函数图形的描绘115

习题3.6116

3.7 曲率117

3.7.1 曲线的曲率117

3.7.2 曲率圆与曲率半径121

习题3.7122

复习题3123

数学家简介——布鲁克·泰勒124

第4章 不定积分126

4.1 不定积分的概念与性质126

4.1.1 原函数与不定积分概念126

4.1.2 不定积分的几何意义129

4.1.3 不定积分的性质129

4.1.4 基本积分公式130

习题4.1132

4.2 换元积分法132

4.2.1 第一类换元积分法133

4.2.2 第二类换元积分法137

习题4.2142

4.3 分部积分法144

习题4.3147

4.4 有理函数的积分148

4.4.1 有理函数的积分148

4.4.2 三角函数有理式的积分152

习题4.4154

复习题4154

数学家简介——柯西156

第5章 定积分及其应用159

5.1 定积分的概念与性质159

5.1.1 引例159

5.1.2 定积分的定义161

5.1.3 定积分的几何意义163

5.1.4 定积分的性质164

习题5.1166

5.2 微积分基本公式167

5.2.1 积分上限的函数及其导数167

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式170

习题5.2172

5.3 定积分的换元法和分部积分法173

5.3.1 定积分的换元法173

5.3.2 定积分的分部积分法177

习题5.3179

5.4 反常积分180

5.4.1 无穷限的反常积分180

5.4.2 无界函数的反常积分182

5.4.3 Γ函数184

习题5.4186

5.5 定积分的元素法及其在几何学上的应用187

5.5.1 定积分的元素法187

5.5.2 定积分在几何学上的应用——平面图形的面积188

5.5.3 定积分在几何学上的应用——体积与弧长194

习题5.5200

5.6 定积分的元素法在物理学上的应用201

5.6.1 变力沿直线所做的功201

5.6.2 水的侧压力203

习题5.6204

复习题5204

数学家简介——莱布尼茨206

第6章 常微分方程209

6.1 微分方程的基本概念209

6.1.1 引例209

6.1.2 微分方程的概念210

习题6.1212

6.2 可分离变量的微分方程212

6.2.1 可分离变量的微分方程213

6.2.2 可化为可分离变量微分方程的微分方程215

习题6.2219

6.3 一阶线性微分方程219

习题6.3224

6.4 可降阶的二阶微分方程224

6.4.1 y″＝f（x）型的微分方程224

6.4.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程226

6.4.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程228

习题6.4230

6.5 二阶常系数齐次线性微分方程230

6.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构231

6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法232

习题6.5236

6.6 二阶常系数非齐次线性微分方程236

习题6.6243

复习题6244

数学家简介——约翰·伯努利245

附录Ⅰ 常见三角函数公式247

附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介249

附录Ⅲ 几种常见的曲线252

附录Ⅳ 积分表256

习题答案与提示266

参考文献289