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第一部分 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1 命题及其表示3

1.1.1 命题的基本概念3

1.1.2 命题分类4

1.1.3 命题标识符4

1.2 逻辑联结词5

1.2.1 否定联结词5

1.2.2 合取联结词5

1.2.3 析取联结词6

1.2.4 条件联结词7

1.2.5 双条件联结词7

1.2.6 字位运算与布尔检索8

1.3 命题公式与解释9

1.3.1 命题公式9

1.3.2 命题的符号化10

1.4 真值表与等价公式12

1.4.1 真值表12

1.4.2 等价公式13

1.5 命题公式的分类与蕴含式17

1.5.1 命题公式的分类17

1.5.2 重言式与矛盾式的性质18

1.5.3 蕴含式18

1.6 其他逻辑联结词和最小功能完备联结词组21

1.6.1 其他逻辑联结词21

1.6.2 最小功能完备联结词组22

1.6.3 联结词的逻辑电路表示23

1.7 对偶与范式24

1.7.1 对偶式与对偶原理24

1.7.2 命题公式的范式26

1.7.3 命题公式的主析取范式和主合取范式28

1.8 推理理论37

1.8.1 直接证法38

1.8.2 间接证法40

习题一42

实验一 真值表的程序计算47

第2章 谓词逻辑49

2.1 谓词的基本概念49

2.1.1 个体和谓词49

2.1.2 量词51

2.2 谓词公式与符号化解释52

2.2.1 谓词公式52

2.2.2 谓词公式的符号化53

2.3 变元的约束54

2.3.1 约束变元和自由变元54

2.3.2 换名规则55

2.3.3 代替规则56

2.4 谓词演算的等价式与蕴含式56

2.4.1 谓词公式的赋值56

2.4.2 谓词公式的分类57

2.4.3 谓词演算的等价式58

2.4.4 谓词演算的蕴含式62

2.5 谓词公式范式64

2.5.1 前束范式64

2.5.2 斯柯林范式65

2.6 谓词演算的推理理论66

2.6.1 US规则（Universal Specification，全称指定规则）66

2.6.2 UG规则（Universal Generalization，全称推广规则）66

2.6.3 ES规则（Existential Specification，存在指定规则）66

2.6.4 EG规则（Existential Generalization，存在推广规则）67

习题二71

实验二 命题逻辑简单推理系统73

第3章 基于归结原理的推理证明75

3.1 谓词公式与子句集75

3.1.1 斯柯林（Skolem）标准范式75

3.1.2 子句与子句集76

3.1.3 不可满足意义下的一致性76

3.1.4 P=P1∧P2∧…∧Pn的子句集76

3.2 海伯伦（Herbrand）理论77

3.2.1 H域77

3.2.2 原子集77

3.2.3 H域上的解释77

3.3 归结原理（Resolution Method）78

3.3.1 置换与合一78

3.3.2 命题逻辑中的归结原理79

3.3.3 一阶谓词逻辑中的归结原理80

3.3.4 归结原理的完备性81

3.3.5 利用归结原理进行定理证明81

3.3.6 应用归结原理进行问题求解81

3.4 归结过程的控制策略83

3.4.1 引入控制策略83

3.4.2 归结控制策略及其应用举例83

习题三84

实验三 归结原理的程序实现85

第二部分 集合论89

第4章 集合及其运算89

4.1 集合的概念及其表示89

4.1.1 集合的概念89

4.1.2 集合与集合间的关系90

4.1.3 幂集（Power Set）91

4.2 集合的基本运算91

4.2.1 集合的并（Union）运算91

4.2.2 集合的交（Intersection）运算92

4.2.3 集合的交运算与并运算之间的关系93

4.2.4 集合的补（Substraction）运算93

4.2.5 集合的对称差（Symmetric Difference）运算94

4.2.6 集合的计算机表示96

4.3 集合中元素的计数97

4.3.1 两个基本原理97

4.3.2 排列、组合97

4.3.3 容斥原理98

4.4 集合的应用100

4.4.1 数据表的并（∪）运算101

4.4.2 数据表的差（-）运算101

4.4.3 数据表的交（∩）运算101

习题四102

实验四 集合的基本运算104

第5章 二元关系106

5.1 集合的笛卡儿积106

5.1.1 序偶（Ordered Pair）106

5.1.2 笛卡儿积（Cartesian Product）107

5.2 二元关系109

5.2.1 二元关系的基本概念109

5.2.2 二元关系的表示109

5.2.3 关系的运算110

5.2.4 关系的性质114

5.2.5 关系的闭包（Closure）运算116

5.3 等价关系122

5.3.1 集合的划分（Partion ofSet）122

5.3.2 等价关系（Equivalent Relation）与等价类124

5.4 相容关系127

5.4.1 集合的覆盖（Covering）127

5.4.2 相容关系（Consistent Relation）与相容类127

5.5 偏序关系130

5.5.1 偏序关系（Partial Relation）与偏序集的概念130

5.5.2 偏序集的哈斯（Hasse）图131

5.5.3 偏序集中的特殊元132

5.5.4 全序关系（Complete Partial Relation）及其应用134

5.6 关系的应用135

5.6.1 等价关系在计算机中的应用135

5.6.2 序关系在项目管理中的应用136

习题五137

实验五 求关系的闭包140

第6章 函数142

6.1 函数的概念142

6.1.1 函数（Function）的概念142

6.1.2 几类特殊函数143

6.2 逆函数与复合函数145

6.2.1 逆函数145

6.2.2 复合函数146

习题六148

实验六 函数的图形可视化150

第7章 集合的基数151

7.1 集合的等势与优势151

7.2 基数、可数集与不可数集151

7.2.1 基数152

7.2.2 可数集与不可数集153

7.2.3 基数的比较157

习题七159

实验七 自然数性质的可视化表示160

第三部分 代数结构163

第8章 代数系统163

8.1 代数系统的概念163

8.2 代数系统的运算及其性质165

8.3 半群、群与子群170

8.4 同态与同构175

8.5 交换群与循环群、置换群182

8.5.1 交换群182

8.5.2 循环群183

8.5.3 置换群184

8.6 子群与群的陪集分解186

8.7 环与域189

习题八194

实验八 代数系统的基本运算198

第9章 形式语言和自动机200

9.1 语言200

9.2 形式语言和文法203

9.3 有限状态机205

9.4 有限状态自动机206

9.5 语言与自动机的关系211

习题九215

实验九 设计输出状态自动机实验219

第10章 格与布尔代数220

10.1 格的概念220

10.2 分配格228

10.3 有补格232

10.4 布尔代数与布尔表达式234

10.5 数字电路逻辑运算243

习题十246

实验十 代数系统综合课程设计247

第四部分 图论251

第11章 图的基本概念251

11.1 图的概念251

11.1.1 无向图和有向图251

11.1.2 简单图、多重图和同构图252

11.1.3 完全图和正则图255

11.1.4 几种特殊的图255

11.1.5 子图257

11.1.6 图的操作258

11.2 图的连通性259

11.2.1 通路与回路259

11.2.2 连通图260

11.2.3 二部图263

11.3 图的矩阵表示264

11.3.1 关联矩阵265

11.3.2 邻接矩阵266

11.3.3 可达矩阵268

11.4 图的运算268

11.5 欧拉图269

11.5.1 欧拉通路和回路269

11.5.2 半欧拉图和欧拉图270

11.6 哈密顿图273

11.6.1 哈密顿图274

11.6.2 哈密顿图的判断条件275

11.7 带权图278

11.8 平面图278

11.8.1 平面图的基本概念及性质278

11.8.2 库拉托夫斯基定理280

11.8.3 平面图着色及应用281

11.8.4 边着色282

11.9 应用举例284

11.9.1 中国邮路问题284

11.9.2 冰箱分隔问题286

11.9.3 排课表问题287

习题十一288

实验十一 应用邻接矩阵方法求解锁具装箱问题292

第12章 树294

12.1 树的概念及性质294

12.1.1 树的定义294

12.1.2 树的一些性质294

12.2 最小生成树295

12.2.1 生成树295

12.2.2 最小代价生成树297

12.3 根树298

12.3.1 根树的定义298

12.3.2 根树的分类299

12.4 树的应用300

12.4.1 决策树300

12.4.2 博弈树301

习题十二302

实验十二 应用生成树算法求解旅行商问题304

第13章 支配集、覆盖集、独立集与匹配理论306

13.1 支配集、覆盖集、独立集概念306

13.1.1 支配集306

13.1.2 覆盖集306

13.1.3 独立集307

13.2 边覆盖集与匹配308

13.3 二部图中的匹配311

13.4 图论的综合应用举例＊＊312

13.4.1 会议议程安排问题312

13.4.2 大中型工程项目的优化315

习题十三320

实验十三 程序求解支配集、独立集问题322

《离散数学》常用符号表323

参考文献327