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正文篇1

第1章 矢量分析1

1.1矢量代数1

1.2并矢（二阶张量）代数4

1.3标量函数的梯度6

1.4矢量函数的散度10

1.5矢量函数的旋度13

1.6标量场和矢量场的Laplace16

1.7矢量和并矢函数的微商19

1.8矢量场的积分定理20

1.9一般正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度和Laplace的表达式26

1.10球面坐标系、圆柱面坐标系和椭圆柱坐标系35

1.11无旋场与无散场41

第2章Bessel函数44

2.1引言44

2.2 Bessel方程解与谐振动方程解的对比46

2.3 Bessel方程的级数解法49

2.4 Bessel函数的主要性质（Ⅰ）53

2.5 Bessel函数的主要性质（Ⅱ）63

2.6零阶和一阶实宗量Bessel函数J0（x），J1（x），Y0（x）和Y1（x）的计算75

2.7 n阶实宗量Bessel函数的计算79

第3章 变型Bessel函数84

3.1引言84

3.2变型Bessel函数的主要性质（Ⅰ）85

3.3变型Bessel函数的主要性质（Ⅱ）93

3.4零阶和一阶实宗量变型Bessel函数I0（x），I1（x），K0（x）和K1（x）的计算100

3.5 n阶实宗量In（x）和Kn（x）的计算102

第4章球Bessel函数、Riccati - Bessel函数和变型球Bessel函数106

4.1球Bessel函数106

4.2球Bessel函数的主要性质107

4.3实宗量jn （x），yn（x），h（1）n（x）和h（2）n（x）的计算114

4.4 Riccati-Bessel函数及其数学性质116

4.5实宗量Riccati-Bessel函数的计算121

4.6变型球Bessel函数123

4.7变型球Bessel函数的主要性质124

4.8实宗量in（x）和kn（x）的计算129

第5章Legendre函数131

5.1引言131

5.2 Legendre方程的级数解法133

5.3 Legendre函数Pn（x）的主要性质138

5.4 Pn（x）及其零点的数值计算146

5.5第二类Legendre 函数Qn（x）及其数学性质147

5.6 Qn（x）数值计算149

5.7第一类缔合Legendre 函数Pmn（x）及其数学性质150

5.8 Pmn（x）及其导数的数值计算153

5.9球谐函数及其数学性质154

5.10第二类缔合Legendre函数Qmn（x）及其数学性质159

5.11Qmn（x）数值计算161

附录篇163

附录Ⅰ矢量分析常用公式和场论公式的推导163

A常用重要公式163

1.矢量恒等式163

2.积分定理163

3.直角、圆柱、球面和椭圆柱坐标系中场的梯度、散度、旋度和Laplace的表示式164

B圆球坐标系矢量场Laplace ▽2A表示式的推导170

方法1：矢量场A Laplace ▽2A的矢量恒等式法171

方法2：▽2A的拉氏算子▽2直接作用于矢量场A法173

方法3：▽2A=▽·（▽A）的Laplace算子法176

C一般柱面坐标系矢量场Laplace V2A表示式的推导181

方法1：矢量场A Laplace V2A的矢量恒等式法181

方法2：▽2A的拉氏算子▽2直接作用于矢量场A法185

方法3：V2 A=▽·（▽A）的Laplace算子法188

附录ⅡBessel函数相关函数和公式证明202

A Γ（z）函数，ψ（z）和B（p，q）函数202

1.Gamma函数的定义及其主要性质202

2.ψ（z）函数的定义及其主要性质204

3.Beta函数B（p，q）的定义及其主要性质205

B几个公式的推导证明206

1.n整数阶Bessel方程第二个特解Yn（z）的推导206

2.Bessel函数大宗量渐近展开式的推导208

3.Bessel函数Jn（z）的正交归一关系式（2.5.28）的证明212

附录Ⅲ有关变型Bessel函数公式的推导215

1.n整数阶第二类变型Bessel函数Kn（z）表示式（3.2.4）的推导215

2.关系式（3.2.22）和（3.2.25）的证明217

3.变型Bessel函数朗斯基关系式（3.3.1）和（3.3.2）的证明218

4.变型Bessel函数大宗量渐近展开式（3.3.15）和（3.3.16）的证明219

附录Ⅳ有关球Bessel函数公式的推导222

1.jn （z）和yn （z）级数展开式（4.2.1）和（4.2.2）的推导222

2.球Bessel函数的初等函数表示式的推导224

3.负变量公式（4.7.39）和（4.7.40）的证明227

4.变型球Bessel与球Bessel函数的关系式（4.7.43）和（4.7.44）的证明227

附录Ⅴ有关Legendre函数公式的证明230

1.Legendre多项式Pn（x）的递推公式（5.3.13）～（5.3.16）的证明230

2.证明Legendre多项式Pn（x）正交归一关系式（5.3.17）231

3.证明Pn（x）和Qn（x）的朗斯基关系式（5.5.17）236

4.证明缔合Legendre多项式（5.7.1）237

5.证明缔合Legendre多项式对称关系式（5.7.3）和（5.7.4）238

6.证明Pmn（x）的特殊值（5.7.5）～（5.7.8）式239

7.证明缔合Legendre多项式Pmn（x）递推公式（5.7.10）～（5.7.14）242

8.证明P-mn’（x）与Pmn（x）的关系式（5.7.16）245

9.证明缔合Legendre多项式正交关系式（5.7.17）～（5.7.20）247

10.证明Qmn（x）特殊值（5.10.3）和（5.10.4）式255

11.证明Pmn（x）和Qmn（x）的朗斯基关系式（5.10.13）258

附录Ⅵ 圆柱函数和球函数典型数表260

表1第一类Bessel 函数Jn （x）260

表2第二类Bessel函数Yn（x）260

表3 Bessel 函数Jn（x）和J’n（x）的零点表（按大小顺序排列）261

表4 Jn（x）Yn（cx）一Jn（cx）Yn（x）的前5个零点262

表5变型第一类Bessel函数In（x）263

表6第二类变型Bessel函数Kn（x）263

表7第一类球Bessel 函数j（x）264

表8第一类球Bessel 函数yn（x）264

表9球Bessel函数jn（x）（n=0，1，2，3）的零点，xm265

表10球Bessel函数的导数j’（x）（n=0，1，2，3）的零点，x’m265

表11第一类Riccati-Bessel函数＾J’n（x）266

表12第二类Riccati-Bessel 函数＾Yn（x）266

表13 Riccati-Bessel函数＾Jn（x）（n=0，1，2，3）的零点，xm267

表14 Riccati-Bessel函数的导数＾J’n（x）（n=0，1.2，3）的零点，x’m267

表15第一类变型球Bessel 函数in（x）268

表16第二类变型球Bessel函数kn（x）268

表17第一类Legendre函数Pn（x）269

表18第二类Legendre函数Qn（x）270

表19第一类缔合Legendre函数Pmn（x）271

表20第一类缔合Legendre函数Pmn（x）（续）272

表21第二类缔合Legendre函数Qmn（x）273

表22第二类缔合Legendre函数Qmn（x）（续）274

表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi275

表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi（续1）276

表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi（续2）277

附录Ⅶ 光盘中Fortran源程序清单（文件夹VCS）278

参考书目279