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第一篇 应用微积分1

第1章 函数1

1.1 概述1

1.1.1 概述1

1.1.2 银行利率与贷款买房2

1.2 描述量间的简单关系（一元函数）5

1.2.1 销量、贷款买房与心电图（函数的概念及表示）5

1.2.2 函数关系的确定与函数的定义域、值域7

1.2.3 图、表与代数式（函数的三种表示方式间的关系）8

1.2.4 如何表示邮包的邮费（分段函数）10

1.3 初等函数及其图象特征12

1.3.1 基本初等函数及其图象12

1.3.2 构建新函数17

1.3.3 初等函数21

1.4 多个量的总体贡献25

1.4.1 表示多个量的联合25

1.4.2 点函数及其定义域27

1.4.3 二元函数的图象29

1.5 关于向量的几点说明29

1.5.1 向量的向量运算30

1.5.2 向量的坐标运算33

习题135

第2章 方程与图形42

2.1 认识空间曲面42

2.1.1 表示球状物体（球面及其方程）42

2.1.2 如何表示平面43

2.1.3 空间曲面的一般方程45

2.2 绘制曲面（曲面的参数方程）46

2.2.1 平面曲线的参数方程46

2.2.2 平面方程的再讨论47

2.2.3 工艺品的形成与旋转曲面48

2.2.4 百叶门与其滑槽52

2.2.5 一般空间曲面的参数方程53

2.2.6 剧院与卫星天线（二次曲面的参数方程与一般方程）55

2.3 绘制空间曲线（空间曲线的58

参数方程）58

2.3.1 直线的参数方程58

2.3.2 螺旋线的参数方程61

2.3.3 一般空间曲线的参数方程62

2.4.1 平面图形的平移、伸缩与旋转64

2.4 图形变换64

2.4.2 平面图形的仿射变换66

2.4.3 空间图形的仿射变换67

习题267

第3章 极限与连续的概念70

3.1 数列的极限70

3.1.1 数列极限的概念70

3.2 函数的极限75

3.2.1 广告的效用（x→∞时的极限）75

3.2.2 人影长度何时为零（函数x→x0时的极限与函数的连续）77

3.2.3 数列极限与函数极限的联系79

3.2.4 求极限公式与极限的运算法则80

3.3 函数的连续83

3.3.1 一元函数的连续与间断83

的性质85

3.3.2 一元连续函数在闭区间上85

3.3.3 多元函数的极限与连续88

习题390

第4章 应用微分学96

4.1 路程的变化率——平均速度与96

瞬时速度96

4.2 导数——函数随自变量变化的瞬时变化率99

4.2.1 导数的定义99

4.2.2 导数的几何意义99

4.2.3 导函数101

4.2.4 高阶导数102

4.3 几个导数公式103

——多元函数的偏导数105

4.4 多元函数对某一个自变量的导数105

4.4.1 二元函数偏导数的概念106

4.4.2 偏导数的求法106

4.5 如何才能是最优的107

4.5.1 —一71可导函数的极值与最值107

4.5.2 单调性110

4.5.3 凸凹性111

4.5.4 多元函数的极值112

4.6 信息的放大与缩小114

4.6.1 一元函数的微分114

4.6.2 多元函数的全微分116

4.7 以直代曲及其应用117

4.7.1 局部线性化118

4.7.2 求方程根的牛顿迭代法118

4.7.3 梯度及其应用120

习题4122

第5章 连续积累问题131

5.1 定积分的概念131

5.1.1 除雪机除雪问题131

5.1.2 曲边梯形的面积133

5.1.3 定积分的概念与定积分的135

几何意义135

5.2 定积分的近似计算137

5.2.1 矩形法137

5.2.2 梯形法139

5.3 不定积分与定积分的计算140

5.3.1 由速度到位移140

5.3.2 不定积分表与不定积分的计算141

5.3.3 定积分的牛顿莱布尼茨公式143

5.4 定积分概念的推广146

5.4.1 特种润滑油应生产多少146

5.4.2 矿山中矿物的储量149

习题5155

第6章 简单数据处理与函数逼近162

6.1 用多项式表示数据162

6.1.1 过数据点的多项式（多项式插值）162

6.1.2 拉格朗日插值公式164

6.1.3 误差与表达方式间的平衡（用线性函数与二次函数逼近数据）165

6.1.4 几点说明170

6.2 计算机中的超越函数（用多项式逼近174

超越函数）174

6.2.1 强调总体效果的逼近174

（Taylor逼近）175

6.2.2 强调局部效果的逼近175

6.2.3 泰勒多项式逼近的有效范围178

6.3 周期函数的三角逼近180

6.3.1 以2π为周期的函数的三角逼近180

6.3.2 三角多项式逼近的系数182

6.3.3 以T为周期的函数的三角184

多项式逼近184

6.3.4 几种常见信号的三角逼近多项式185

习题6186

第7章 微分方程与数学建模入门191

7.1 微分方程的有关问题191

7.1.1 模拟计算问题191

7.1.2 微分方程的有关概念194

7.1.3 简单微分方程的解法197

7.1.4 微分方程的数值解198

7.2 实际问题与数学问题202

7.2.1 华盛顿塔科马大桥的倒塌原因202

7.2.2 传染病问题204

7.3 数学建模入门206

7.3.1 数学模型的有关概念206

7.3.2 数学建模的方法与步骤206

7.3.3 数学建模举例209

习题7212

第二篇 微积分计算与理论219

第8章 微积分的有关计算219

8.1 无穷小的概念与极限计算219

8.1.1 无穷小的概念与无穷小的性质219

8.1.2 无穷小的比较220

8.1.3 极限的运算221

8.2 导数的计算224

8.2.1 导数的运算法则与导数公式224

8.2.2 由方程与参数方程确定的函数的导数225

8.2.3 偏导数、微分与全微分计算228

8.3 积分计算233

8.3.1 定积分的换元积分法233

8.3.2 定积分的分部积分法235

8.3.3 定积分的中值定理237

8.3.4 二重积分化为累次积分238

8.4 积分概念的延伸240

8.4.1 第一类曲线积分240

8.4.2 第二类曲线积分242

8.4.3 Green公式和积分与路径无关246

习题8249

第9章 微分方程的解法257

9.1 一阶微分方程257

9.1.1 可分离变量的微分方程257

9.1.2 齐次型微分方程262

9.1.3 一阶线性微分方程264

9.2 二阶线性微分方程270

9.2.1 二阶线性微分方程解的结构270

9.2.2 二阶常系数线性齐次微分方程272

9.2.3 二阶常系数线性非齐次微分方程277

9.3 微分方程组285

习题9291

10.1 泰勒级数294

第10章 微积分应用的理论基础294

10.2 常数项级数297

10.2.1 级数的概念与级数的基本性质297

10.2.2 正项级数收敛的判别法300

10.2.3 交错级数的莱布尼茨判别法303

10.2.4 一般数项级数的收敛性304

10.3 函数项级数305

10.3.1 函数项级数的概念305

10.3.2 幂级数306

10.3.3 函数展开成幂级数309

10.4 微分中值定理及其应用314

10.4.1 微分中值定理314

10.4.2 泰勒（Taylor）中值定理318

10.4.3 洛必达法则320

习题10324

第三篇 应用数学基础327

第11章 矩阵及其应用327

11.1 数表与矩阵327

11.1.1 矩阵的概念327

11.1.2 矩阵的运算330

11.1.3 矩阵的初等变换334

11.2 向量组的线性相关性341

11.2.1 n维向量341

11.2.2 量组的线性关系342

11.3 方阵的行列式344

11.3.1 方阵行列式的定义344

11.3.2 行列式的性质346

11.3.3 克拉默法则348

11.4 矩阵的应用350

11.4.1 求解线性方程组350

11.4.2 矩阵的特征值与特征向量353

11.4.3 矩阵与图形的几何变换355

11.4.4 实二次型358

习题11361

第12章 概率论与数理统计367

12.1 概率论与统计基础367

12.1.1 数据的简单描述367

12.1.2 概率与分布律373

12.1.3 连续型随机变量的分布函数380

12.2 统计分析方法386

12.2.1 参数估计386

12.2.2 统计检验389

12.3 随机计算机模拟396

12.3.1 随机问题的计算机模拟396

12.3.2 随机数的产生398

12.3.3 随机系统模拟401

12.4 两个有用的例子404

12.4.1 蒙特卡罗积分404

12.4.2 近似计算中的误差估计405

习题12406

附录Ⅰ常用数理统计表412

表1标准正态分布表412

表2 t分布表413

表3 x2分布表414

表4 F分布表415

附录Ⅱ积分表420