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第一章 尼氏基本定理1

1 第一基本定理1

1．1 定义1

1．2 钱笙公式3

1．3 征量的不等式4

1．4 第一基本定理5

2 亚纯函数的征量7

2．1 均量性质7

2．2 密量与征量10

2．3 线性变换11

2．4 有理函数12

2．5 整函数e~c~z12

3．1 亚纯函数的阶17

3 尼氏因子分解定理17

3．2 对数导数19

3．3 因子分解21

4 m(r，f_1/f)的估计30

4．1 叙述30

4．2 线性函数的均量31

4．3 logn的估计33

4．4 定理7的证明34

5 第二基本定理36

5．1 三密量不等式36

5．2 一般形式38

6 余项A(r，f)41

6．1 波勒耳引理41

6．3 小项46

6．2 A(r，f)的估计46

7．1 定义48

7 亏量48

7．2 亏量定理49

7．3 重值52

7．4 有理函数53

8 小函数54

8．1 定义54

8．2 三密量不等式的推广54

8．3 亏函数55

习題57

1 两个不等式59

1．1 消去log+log+1/x59

第二章 导数59

1．2 消去log+U(s)60

2 界囿关系62

2．1 用T(r，f)界囿T(r，f~(l))62

2．2 用T(r，f~l)界囿T(r，f)65

2．3 阶与下阶71

3 米老克斯理论72

3．1 微分多项式72

3．2 米老克斯不等式75

3．3 导数的简亏量77

4 赫门不等式78

4．1 叙述78

4．2 N_1(r，f)的上界79

4．3 定理8的证明81

4．4 f(z)与f~(k)(z)的取值83

5 波鲁亚理论84

5．1 导数性质84

5．2 定理9(1)的证明84

5．3 根的存在86

5．4 定理9(2)的证明88

5．5 至少两个极点92

5．6 无零点的亚纯函数93

习题95

第三章 亏量理论96

1 亏量级数96

1．1 叙述96

1．2 振幅97

1．3 两个不等式99

1．4 征量的一个不等式101

1．5 最小值102

1．6 U(θ_o，θ_p，ψ_1)104

1．7 U(θ_o，I_p，ψ_2)106

1．8 ∑m_p|I_p|~(1-β)108

1．9 函数Kf(z)109

1．10 点集E_n110

1．11 定理1的证明112

1．12 0＜a＜1/3114

2 K(f)118

2．1 叙述118

2．2 波鲁亚峰119

2．3 征量的上界120

2．4 定理3的证明122

2．5 整函数124

3 哥德培克理论126

3．1 叙述126

3．2 凸函数的性质126

3．3 定理6的证明129

3．4 正零点与负极点130

4 椭圆定理133

4．1 叙述133

4．2 简化136

4．3 函数f(z)137

4．4 logf(z)的积分表示139

4．5 T(r，f)的积分表示140

4．6 定积分的估计143

4．7 (4)的证明144

4．8 (5)的证明146

4．9 推论147

4．10 精确性151

5 亏量与极限158

5．1 叙述158

5．2 函数g(z，b)160

5．3 函数X(x)162

5．4 函数G(z)163

5．5 log|f(z)|的上界165

5．6 T(r，f)的上界167

5．7 无穷积分的估计168

5．8 定理9的证明171

习题171

1．2 界囿定理173

1．1 叙述173

1 肖特克定理173

第四章 例外值173

1．3 定理1的证明177

1．4 其他形式180

1．5 朗道定理182

2 毕卡定理183

2．1 有理函数183

2．2 整函数183

2．3 亚纯函数184

2．4 B值185

2．5 关系186

2．6 孤立本性奇点187

3．1 渐近值与P值191

3 路线191

3．2 相邻路线193

3．3 渐近值与B值196

习题198

第五章 正规族理论199

1 匀趋199

1．1 覆盖定理199

1．2 匀向∞200

1．3 局部匀敛201

2 正倒匀敛202

2．1 定义202

2．2 极限函数202

2．3 解析函数项序列205

3．1 定义207

3．2 等价性207

3 正规族207

3．3 解析函数族209

4 正规定则210

4．1 覆盖域210

4．2 线性运算211

4．3 有界定则213

4．4 两值定则213

4．5 三值定则215

4．6 充要定则216

习题219

第六章 球征量220

1 球距220

1．1 测地投影220

1．2 定义与性质221

1．3 球距圆224

1．4 球距卡当定理226

2 球面226

2．1 面积元素226

2．2 旋转228

3 格林公式230

3．1 单连域230

3．2 多连域231

3．3 关键等式232

4 亚历富斯征量234

4．1 定义234

4．2 关系237

4．3 尼氏第一基本定理237

4．4 T_o(r，f)的性质240

5．1 几何意义242

5 几何方法242

5．2 几何证明243

6 比较244

6．1 n(r，a)与A(r)244

6．2 赫门定理246

习题250

第七章 茹利亚方向252

1 定义252

1．1 与P值的联系252

1．2 充圆253

1．3 关系254

2 存在定理256

2．1 叙述256

2．2 均匀有界256

2．3 不正规258

2．4 定理1的证明259

3 标量正值区间的端点260

3．1 叙述260

3．2 充圆的存在性261

3．3 定理2的证明262

3．4 公共J线263

4 角域264

4．1 角域S(π/2)264

4．2 部分和的上界264

4．3 定积分的上界265

4．4 关键引理266

4．5 充圆存在270

4．6 定理3的证明271

4．7 超整函数272

5．1 ρ＞1/2274

5 J线的条数274

5．2 ρ=1/2275

习题276

第八章 波勒耳方向277

1 范礼隆定理277

1．1 叙述277

1．2 定理2的证明278

1．3 定理1的证明285

2 征量与密量288

2．1 球距三密量不等式288

2．2 定理3的证明289

2．3 密量的下界293

3．1 定义295

3 m幂充圆295

3．2 存在定理296

3．3 覆盖圆域296

3．4 n(？，a)的上界299

3．5 n(？，a)的下界300

3．6 定理5的证明302

4 ρ阶B线303

4．1 定义303

4．2 ρ阶充圆序列304

4．3 ρ阶B线的存在性305

4．4 J线306

习题308

参考文献309