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第一部分 集合论1

第一章 集合论的基本概念3

1.1 集合的概念3

1.2 集合的性质5

1.3 集合论的恒等和势10

1.4 子集12

1.5 幂集15

1.6 并和交15

1.7 差和补18

1.8 集合论的等式21

练习27

第二章 关系与函数32

2.1 序偶与笛卡尔乘积32

2.2 关系34

2.3 函数35

2.4 函数的复合运算39

练习42

第三章 关系的性质44

3.1 自反性、对称性、传递性和连通性44

3.2 关系图50

3.3 逆和补的性质51

3.4 等价关系与划分52

3.5 序关系55

练习60

第四章 无限63

4.1 等价集与势63

4.2 集合的可列性67

4.3 不可列集合71

4.4 无限与无界80

练习82

附录A 数系统的集合论重构86

A.1 自然数86

A.2 扩展至全部整数的集合89

A.3 扩展至全部有理数的集合93

A.4 扩展至全部实数的集合94

复习题96

第二部分 逻辑和形式系统99

第五章 逻辑和形式系统的基本概念101

5.1 形式系统和模型101

5.2 自然语言和形式语言106

5.3 句法学和语义学107

5.4 关于命题逻辑和谓词逻辑109

第六章 命题逻辑115

6.1 句法115

6.2 语义学：真值和真值表117

6.2.1 否定118

6.2.2 合取119

6.2.3 析取121

6.2.4 条件122

6.2.5 充要条件124

6.3 永真式、永假式和可能式126

6.4 逻辑等价、逻辑结论和逻辑定律130

6.5 自然演绎135

6.5.1 条件证明142

6.5.2 间接证明144

6.6 贝思表146

练习155

第七章 谓词逻辑163

7.1 句法163

7.2 语义170

7.3 量词定律与前束范式178

7.4 自然演绎187

7.5 贝思表202

7.6 形式化证明和非形式化证明209

7.7 数学证明中的非形式化风格211

练习216

第八章 形式系统、公理化与模型理论223

8.1 形式系统的句法方面223

8.1.1 递归定义223

8.2 公理系统和推导228

8.2.1 扩展的公理系统232

8.3 半图厄系统237

8.4 皮亚诺公理与归纳证明240

8.5 形式系统的语义方面：模型论248

8.5.1 理论与模型248

8.5.2 一致性、完备性和独立性250

8.5.3 同构253

8.5.4 一个初等的形式系统255

8.5.5 关于定序关系的公理258

8.5.6 关于符串联结的公理265

8.5.7 皮亚诺公理的模型268

8.5.8 集合论的公理化270

8.6 公理化逻辑273

8.6.1 命题逻辑的公理化273

8.6.2 一致性和独立性证明277

8.6.3 谓词逻辑的公理化280

8.6.4 关于完备性证明283

8.6.5 可判定性285

8.6.6 哥德尔的不完备性定理287

8.6.7 高阶逻辑289

练习293

附录B-Ⅰ 各种不同的逻辑符号与联结词298

附录B-Ⅱ 克林的三值逻辑300

复习题304

第三部分 代数307

第九章 代数的基本概念309

9.1 代数的定义309

9.2 运算的性质311

9.3 特殊元素312

9.4 映射和态射314

练习317

第十章 运算结构318

10.1 群论318

10.2 子群、半群和幺半群325

10.3 整环328

10.4 态射334

练习337

第十一章 格理论342

11.1 偏序集、对偶性和图表342

11.2 格、半格和子格347

11.3 格中的态射352

11.4 滤子和理想355

11.5 有补格、分配格和模格358

练习364

第十二章 布尔代数和海廷代数366

12.1 布尔代数366

12.2 BA的模型370

12.3 用集合表征BA372

12.4 海廷代数375

12.5 克里普克语义学378

复习题384

第四部分 作为形式语言的英语389

第十三章 基本概念391

13.1 组合性392

13.1.1 命题逻辑的组合性解释394

13.1.2 谓词逻辑的组合性解释398

13.1.3 自然语言和组合性412

13.2 兰姆达抽象419

13.2.1 类型论419

13.2.2 λ-抽象的句法和语义422

13.2.3 一个样本片段424

13.2.4 兰姆达演算431

13.2.5 语言学应用435

练习457

第十四章 广义量词462

14.1 限定词与量词462

14.2 量词的条件465

14.3 限定词与量词的特性472

14.4 作为关系的限定词491

14.5 语境与量化496

练习503

第十五章 内涵性506

15.1 弗雷格的两个问题506

15.2 不透明性的形式515

15.3 索引与可及性关系522

15.4 时态与时间537

15.5 索引性543

练习545

第五部分 语言、语法与自动机547

第十六章 基本概念549

16.1 语言、语法与自动机549

16.2 语法554

16.3 树形图557

16.3.1 支配558

16.3.2 居先560

16.3.3 标记562

16.4 语法与树形图566

16.5 乔姆斯基层级571

16.6 语言与自动机574

第十七章 有限自动机、正则语言与3型语法577

17.1 有限自动机577

17.1.1 有限自动机的状态图580

17.1.2 确定的有限自动机的形式定义580

17.1.3 不确定的有限自动机584

17.1.4 不确定的有限自动机的形式定义585

17.1.5 确定的有限自动机与不确定的有限自动机的等价586

17.2 正则语言588

17.2.1 有限自动机语言的泵定理596

17.3 3型语法与有限自动机语言599

17.3.1 正则语言的性质603

17.3.2 用右线性语法描述自然语言的不充分性607

练习610

第十八章 后进先出自动机、上下文无关语法与上下文无关语言616

18.1 后进先出自动机616

18.2 上下文无关语法与上下文无关语言622

18.3 上下文无关语言的泵定理625

18.4 上下文无关语言的闭合性629

18.5 上下文无关语言的可判定性问题632

18.6 自然语言是上下文无关的吗？636

练习641

第十九章 图灵机、递归可枚举语言与0型语法643

19.1 图灵机643

19.1.1 图灵机的形式定义647

19.2 图灵机的等价阐述652

19.3 无限制语法与图灵机653

19.4 丘奇假说657

19.5 递归集合与递归可枚举集合658

19.6 通用图灵机660

19.7 图灵机的停机问题663

练习668

第二十章 线性有界自动机、上下文有关语言及1型语法671

20.1 线性有界自动机671

20.1.1 线性有界自动机和上下文有关语法672

20.2 上下文有关语法和递归集合674

20.3 闭包和可判定性676

练习677

第二十一章 介于上下文无关语言和上下文有关语言之间的语言678

21.1 索引语法679

21.2 树邻接语法686

21.3 中心语语法692

21.4 范畴语法694

第二十二章 转换语法700

附录E-Ⅰ 乔姆斯基层级705

附录E-Ⅱ 语义自动机707

练习714

复习题715

部分习题答案717

第一章717

第二章720

第三章722

第四章724

第一部分复习题725

第六章729

第七章736

第八章746

第二部分复习题750

第九章755

第十章756

第十一章762

第十二章764

第三部分复习题766

第十三章773

第十四章775

第十五章780

第十七章781

第十八章788

第十九章791

第二十章793

附录E-Ⅱ794

第五部分复习题795

参考书目797

英文索引818

译名表846