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1行列式1

1.1集合与数域1

1.1.1集合1

1.1.2数域3

1.2排列、逆序与对换4

1.2.1排列与逆序4

1.2.2对换5

1.3n阶行列式的定义6

1.4n阶行列式的性质9

1.5行列式的计算12

1.5.1化为上三角形行列式12

1.5.2按一行（列）展开14

1.6Laplace定理行列式的乘法规则21

1.6.1子式及其余子式21

1.6.2Laplace定理22

1.6.3行列式的乘法规则25

1.7Cramer法则27

习题130

2向量和向量空间34

2.1向量的几何概念和运算34

2.1.1向量的加法35

2.1.2数乘向量36

2.1.3向量的减法36

2.2共线、共面向量和向量的线性关系38

2.2.1向量的线性关系38

2.2.2向量共线、共面的条件39

2.3空间坐标系和向量的分量表示40

2.3.1空间直角坐标系和仿射坐标系40

2.3.2向量在坐标系中的分量表示42

2.4n维向量空间46

2.4.1n维向量的概念和运算46

2.4.2n维向量的线性关系48

2.4.3向量组的秩和极大线性无关子组51

习题253

3矩阵58

3.1矩阵的概念和运算58

3.1.1矩阵的定义和一些常见的矩阵58

3.1.2矩阵的运算60

3.1.3矩阵的转置64

3.1.4矩阵应用浅谈65

3.2方阵的行列式和逆阵67

3.3矩阵分块及其运算70

3.3.1矩阵分块运算的规则71

3.3.2准对角矩阵73

3.4矩阵的秩75

3.5矩阵的初等变换83

3.5.1矩阵的初等变换和初等矩阵83

3.5.2矩阵的相抵、用初等变换求矩阵的秩和逆阵86

习题394

4线性方程组99

4.1Gauss（高斯）消去法99

4.2线性方程组相容性的讨论106

4.3线性方程组解的结构109

4.3.1齐次线性方程组的基础解系110

4.3.2非齐次线性方程组解的结构114

习题4116

5平面和直线121

5.1三维几何向量的数积121

5.1.1数积的定义和运算律121

5.1.2直角坐标系下数积的分量表示123

5.2三维几何向量的矢积和混合积125

5.2.1矢积的定义和运算律125

5.2.2直角坐标系下矢积的分量表示127

5.2.3混合积129

5.3平面的方程131

5.3.1仿射坐标系下平面的参数式和一般式方程131

5.3.2直角坐标系下平面的点法式方程136

5.4有关平面的一些问题138

5.4.1向量平行于平面的条件138

5.4.2两平面平行、重合或相交的条件139

5.4.3平面束140

5.4.4平面到点的有向距离142

5.4.5两平行平面的距离和等距面方程144

5.4.6两相交平面的夹角和等分角平面方程145

5.5直线的方程146

5.6有关直线的一些问题149

5.6.1直线上点与参数的对应、有向线段的定比分割150

5.6.2两直线相错、相交或平行的条件152

5.6.3两直线的夹角154

5.6.4相错直线的公垂线154

5.6.5直线和平面的相对位置156

5.6.6点到直线的距离158

5.7平面和直线作为线性方程组的几何解释158

5.7.1平面与平面的相对位置158

5.7.2线性方程组的几何解释161

习题5162

6几种常见的曲面170

6.1曲面和曲线的方程170

6.2柱面174

6.3锥面177

6.4旋转曲面181

6.5椭圆面、双曲面和抛物面185

6.5.1椭圆面185

6.5.2双曲面187

6.5.3抛物面190

习题6193

7线性空间和坐标变换196

7.1线性空间的概念196

7.2维数、基底和坐标199

7.3基变换和坐标变换202

7.4三维几何空间中的仿射坐标变换与直角坐标变换206

7.5线性子空间213

7.5.1线性子空间的概念213

7.5.2子空间的交与和216

7.5.3子空间的直和219

习题7221

8线性变换226

8.1集合的映射226

8.2线性变换的概念227

8.2.1线性变换的定义、例题和几个简单性质227

8.2.2线性变换的值域与核230

8.3线性变换的矩阵233

8.3.1线性变换在给定基下的矩阵233

8.3.2线性变换在不同基下矩阵的关系237

8.4线性变换的运算240

8.5仿射变换246

习题8250

9二次曲面的仿射理论255

9.1二次曲面与直线的交点、切平面和奇点256

9.1.1二次曲面与直线的交点256

9.1.2切平面和奇点258

9.2二次曲面的渐近方向和中心261

9.2.1渐近方向和非渐近方向262

9.2.2中心262

9.3直径面、奇向和共轭方向266

9.3.1直径面266

9.3.2奇向269

9.3.3共轭方向和共轭直径271

9.4仿射坐标系下二次曲面的标准方程272

习题9280

10二次型283

10.1二次型的标准形和规范形283

10.1.1n元二次型的概念283

10.1.2二次型的标准形285

10.1.3二次型的规范形288

10.2有定和不定二次型291

10.2.1正定二次型和正定矩阵291

10.2.2负定、半正定、半负定和不定二次型296

10.2.3二次型有定和不定在多元函数极值问题中的应用297

10.3厄米特（Hermitc）二次型299

习题10302

11欧氏空间和正交变换306

11.1内积和欧氏空间的概念306

11.2标准正交基和正交矩阵312

11.2.1标准正交基312

11.2.2正交矩阵316

11.3子空间的正交关系、最小二乘法问题320

11.3.1正交子空间和正交补320

11.3.2向量到子空间的距离、用最小二乘法解矛322

盾线性方程组322

11.4正交变换、刚体运动和镜面反射327

11.4.1正交变换及其性质327

11.4.2刚体运动330

11.4.3镜面反射334

11.5酉空间和酉变换335

11.5.1酉空间335

11.5.2酉矩阵和酉变换338

习题11339

12特征值、特征向量、矩阵对角化及其应用344

12.1特征值和特征向量344

12.2矩阵的对角化350

12.3不变子空间357

12.4实对称矩阵的标准形和二次型的主轴问题360

12.4.1用正交矩阵化实对称阵为对角阵361

12.4.2用正交变换化实二次型为标准形366

12.4.3酉空间的主轴问题367

12.5直角坐标系下二次曲面的标准方程370

习题12381

13多项式386

13.1一元多项式的概念和运算386

13.2最大公因式390

13.3因式分解和多项式的根394

13.4复系数、实系数和有理系数多项式的根398

13.4.1复系数和实系数多项式的根398

13.4.2有理系数多项式的有理根400

习题13403

14多项式矩阵和矩阵的标准形406

14.1多项式矩阵的概念及其运算406

14.2多项式矩阵的Smith标准形及其唯一性408

14.3矩阵相似与特征矩阵相抵的关系415

14.4初等因子和矩阵的Jordan标准形417

14.4.1初等因子417

14.4.2矩阵的Jordan标准形419

习题14425

15矩阵分析429

15.1向量和矩阵的范数429

15.1.1向量的范数429

15.1.2方阵的范数433

15.2向量和矩阵序列的极限439

15.2.1向量序列的极限439

15.2.2矩阵序列的极限440

15.3函数矩阵的导数与积分443

15.4矩阵级数和幂级数445

15.4.1矩阵级数445

15.4.2方阵的幂级数447

15.5矩阵函数451

习题15461