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第一章 集合与映射1

1.1 集合及其基本运算1

1.2 数的集合5

1.3 映射与函数10

1.4 附录：实数系的构造17

第二章 极限23

2.1 数列极限23

2.1.1 数列极限的定义23

2.1.2 数列极限的基本性质29

2.2 单调数列的极限36

2.3 Cauchy准则45

2.4 Stolz公式48

2.5 实数系的基本性质53

第三章 连续函数63

3.1 函数的极限63

3.1.1 函数极限的定义63

3.1.2 函数极限的性质69

3.2 无穷小（大）量的阶75

3.3 连续函数78

3.3.1 连续函数的定义78

3.3.2 间断点与单调函数81

3.4 闭区间上连续函数的性质85

3.4.1 最值定理和介值定理85

3.4.2 一致连续性89

3.5 连续函数的积分95

3.5.1 积分的定义95

3.5.2 积分的基本性质100

3.5.3 进一步的例子105

第四章 微分及其逆运算112

4.1 可导与可微112

4.2 高阶导数124

4.3 不定积分130

4.4 积分的计算136

4.4.1 换元积分法137

4.4.2 分部积分法139

4.4.3 有理函数的积分142

4.4.4 有理三角函数的积分145

4.4.5 某些无理积分147

4.5 简单的微分方程153

第五章 微分中值定理和Taylor展开160

5.1 函数的极值160

5.2 微分中值定理165

5.3 单调函数170

5.4 凸函数173

5.5 函数作图182

5.6 L’Hospital法则184

5.7 Taylor展开188

5.8 Taylor公式和微分学的应用198

第六章 Riemann积分207

6.1 Riemann可积207

6.2 定积分的性质221

6.3 微积分基本公式230

6.4 定积分的近似计算239

第七章 积分的应用和推广246

7.1 定积分的应用246

7.1.1 曲线的长度246

7.1.2 简单图形的面积248

7.1.3 简单立体的体积251

7.1.4 物理应用举例252

7.1.5 进一步应用的例子254

7.2 广义积分258

7.3 广义积分的收敛判别法263

7.4 广义积分的几个例子268

第八章 数项级数275

8.1 级数收敛与发散的概念275

8.2 正项级数收敛与发散的判别法278

8.3 一般级数收敛与发散的判别法288

8.4 数项级数的进一步讨论294

8.4.1 级数求和与求极限的可交换性294

8.4.2 级数的乘积298

8.4.3 乘积级数302

8.4.4 级数的重排305

第九章 函数项级数309

9.1 一致收敛309

9.2 求和与求导、积分的可交换性316

9.3 幂级数322

9.3.1 收敛半径及基本性质323

9.3.2 Taylor展开与幂级数327

9.3.3 幂级数的乘法和除法运算331

9.3.4 母函数方法336

9.4 函数项级数的进一步讨论340

9.4.1 近似计算回顾340

9.4.2 用级数构造函数349

第十章 Fourier分析354

10.1 Fourier级数354

10.2 Fourier级数的收敛性358

10.3 Parseval恒等式366

10.4 Fourier级数的积分和微分371

10.5 Fourier级数的进一步讨论375

10.5.1 平均收敛性375

10.5.2 一致收敛性377

10.5.3 等周不等式380

10.5.4 Fourier级数的复数表示382

10.5.5 Fourier积分初步386

第十一章 度量空间和连续映射389

11.1 内积与度量389

11.2 度量空间的拓扑393

11.3 度量空间的完备性397

11.4 度量空间与紧致性401

11.5 连续映射404

11.5.1 连续映射及其基本性质404

11.5.2 欧氏的连续映射408

11.5.3 二元函数及其极限409

第十二章 多元函数的微分412

12.1 方向导数和偏导数412

12.2 切线和切面416

12.3 映射的微分419

12.4 中值公式与Taylor公式426

12.5 逆映射定理和隐映射定理433

12.6 无条件极值440

12.7 Lagrange乘数法444

12.8 多元函数微分的补充材料448

12.8.1 二次型与极值448

12.8.2 函数的相关性和独立性451

第十三章 多元函数的积分454

13.1 二重Riemann积分454

13.2 多重积分及其基本性质462

13.3 重积分的计算466

13.4 重积分的变量替换474

13.4.1 仿射变换475

13.4.2 一般的变量替换481

13.4.3 极坐标变换484

13.5 重积分的应用和推广490

第十四章 曲线积分与曲面积分499

14.1 第一型曲线积分499

14.2 第二型曲线积分504

14.3 第一型曲面积分508

14.4 第二型曲面积分515

14.5 几类积分之间的联系521

14.5.1 余面积公式522

14.5.2 Green公式524

14.5.3 Gauss公式529

14.5.4 Stokes公式534

14.6 附录：Riemann-Stieltjes积分539

14.6.1 有界变差函数539

14.6.2 Riemann-Stieltjes积分542

第十五章 微分形式的积分554

15.1 微分形式554

15.2 外微分运算564

15.3 曲面回顾568

15.4 Stokes公式576

第十六章 含参变量的积分583

16.1 含参变量的积分583

16.2 含参变量的广义积分589

16.2.1 一致收敛及其判别法589

16.2.2 一致收敛积分的性质592

16.3 特殊函数605

16.3.1 Beta函数的基本性质605

16.3.2 Gamma函数的基本性质606

16.3.3 进一步的性质607

16.3.4 Stirling公式612

16.4 Fourier变换回顾615

参考文献633

索引635