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第1章 函数1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 特殊集合：空集、全集和幂集2

1.1.3 集合间的关系2

1.1.4 集合的基本运算3

1.1.5 集合的笛卡儿乘积6

习题1.16

1.2 实数集及其子集7

1.2.1 实数与实数集7

1.2.2 实数的绝对值7

1.2.3 常用实数集：区间与邻域8

习题1.29

1.3 函数的概念9

1.3.1 集合的概念9

1.3.2 函数的几种特性10

习题1.312

1.4 几类特殊函数12

1.4.1 分段函数12

1.4.2 反函数13

1.4.3 复合函数13

1.4.4 初等函数14

习题1.418

1.5 常用经济数学模型及其函数18

1.5.1 需求函数18

1.5.2 供给函数18

1.5.3 成本函数19

1.5.4 收益函数19

习题1.520

数学家简介——笛卡儿20

第2章 一元函数的极限22

2.1 数列极限的概念22

2.1.1 古代极限思想22

2.1.2 数列极限的概念22

习题2.125

2.2 收敛数列的性质25

2.2.1 极限的唯一性25

2.2.2 收敛数列有界性25

2.2.3 收敛数列保号性26

2.2.4 四则运算性质26

习题2.228

2.3 数列收敛的判定定理28

2.3.1 夹逼定理（两边夹定理）28

2.3.2 单调有界定理29

2.3.3 子数列30

2.3.4 柯西收敛准则31

习题2.331

2.4 函数的极限32

2.4.1 自变量x→+∞时函数的极限33

2.4.2 自变量x→x0时函数的极限34

习题2.436

2.5 函数极限的主要性质37

习题2.539

2.6 函数极限存在的判定准则41

2.6.1 归结原则41

2.6.2 夹逼定理42

2.6.3 函数极限的柯西准则43

习题2.644

2.7 两个重要极限44

2.7.1 重要极限144

2.7.2 重要极限245

习题2.747

2.8 无穷大和无穷小48

2.8.1 无穷大48

2.8.2 无穷小49

2.8.3 无穷小与无穷大的关系52

习题2.852

数学家简介——伯努利家族53

第3章 一元函数的连续性56

3.1 函数连续的概念56

3.1.1 函数f（x）在某一点x0的连续56

3.1.2 函数的间断点及其分类58

3.1.3 区间上的连续函数59

习题3.159

3.2 连续函数的性质与运算60

3.2.1 连续函数的性质60

3.2.2 初等函数的连续性61

3.2.3 闭区间上连续函数的重要性质62

习题3.263

数学家简介——高斯64

第4章 一元函数的导数与微分67

4.1 导数的引例67

4.1.1 变速直线运动的瞬时速度67

4.1.2 曲线切线的斜率67

4.2 导数概念68

4.2.1 函数在某点处的导数68

4.2.2 函数在区间上的导（函）数72

习题4.273

4.3 导数的运算法则及其基本公式74

4.3.1 导数的四则运算75

4.3.2 复合函数的求导法则76

4.3.3 反函数的求导法则76

4.3.4 隐函数的求导法则78

4.3.5 对数求导法79

4.3.6 参数变量函数的导数80

4.3.7 基本初等函数求导公式汇总80

习题4.382

4.4 高阶导数83

4.4.1 高阶导数的概念84

4.4.2 高阶导数的运算与性质84

习题4.485

4.5 函数的微分86

4.5.1 微分的定义86

4.5.2 微分的运算法则87

4.5.3 微分的基本公式88

习题4.589

4.6 导数与微分的应用案例89

4.6.1 在近似计算中的应用89

4.6.2 经济应用问题举例90

习题4.691

数学家简介——罗尔91

第5章 中值定理及导数的应用93

5.1 微分中值定理93

5.1.1 罗尔定理93

5.1.2 拉格朗日中值定理95

5.1.3 柯西中值定理98

习题5.199

5.2 洛必达法则100

5.2.1 基本未定式0/0型100

5.2.2 基本未定式∞/∞型102

5.2.3 其他型未定式103

习题5.2106

5.3 函数单调性判别法107

5.3.1 函数的单调性107

5.3.2 函数单调性的判别110

习题5.3112

5.4 函数的极值及其求法112

习题5.4117

5.5 函数的最值及其求法118

习题5.5123

5.6 曲线的凹向与拐点123

习题5.6127

5.7 曲线的渐近线127

习题5.7129

5.8 函数图形的描绘129

习题5.8132

5.9 导数在经济分析中的应用132

5.9.1 导数的经济意义132

5.9.2 弹性分析及其应用案例134

习题5.9136

数学家简介——拉格朗日136

第6章 不定积分138

6.1 不定积分的概念138

6.1.1 原函数与不定积分的概念138

6.1.2 不定积分的几何意义140

习题6.1141

6.2 不定积分的基本性质与积分公式141

6.2.1 基本性质141

6.2.2 基本积分公式143

习题6.2145

6.3 求不定积分的方法145

6.3.1 换元积分法145

6.3.2 分部积分法148

习题6.3151

6.4 有理函数和无理函数积分的求法152

6.4.1 有理函数的积分152

6.4.2 简单无理函数的积分153

习题6.4154

6.5 不定积分应用举例155

习题6.5155

数学家简介——柯西155

第7章 定积分及其应用158

7.1 定积分的概念与性质158

7.1.1 引例158

7.1.2 定积分的定义161

7.1.3 定积分存在定理可积函数类162

7.1.4 定积分的几何意义162

7.1.5 定积分的性质163

习题7.1165

7.2 微积分基本定理166

7.2.1 变上限定积分及其导数166

7.2.2 牛顿-莱布尼兹公式167

习题7.2168

7.3 求定积分的方法169

7.3.1 定积分的换元积分法169

7.3.2 定积分的分部积分法171

习题7.3172

7.4 定积分的几何应用173

7.4.1 平面图形的面积174

7.4.2 旋转体的体积175

7.4.3 已知平面截面积的立体的体积176

7.4.4 平面曲线的弧长177

习题7.4178

7.5 定积分的经济应用179

7.5.1 由边际函数求原函数179

7.5.2 由变化率求总量179

7.5.3 收益流的现值和将来值180

习题7.5181

7.6 定积分其他方面的应用181

7.6.1 函数的算术平均值181

7.6.2 函数的加权平均值182

7.6.3 变力沿直线所作的功183

7.6.4 压力问题183

7.6.5 变速运动184

习题7.6185

数学家简介——牛顿185

第8章 无穷级数188

8.1 无穷级数的概念188

习题8.1189

8.2 无穷级数的性质190

8.2.1 收敛级数的基本性质190

8.2.2 无穷级数的应用案例192

习题8.2192

8.3 正项级数192

8.3.1 正项级数的概念192

8.3.2 正项级数敛散性的判别193

习题8.3197

8.4 任意项级数198

8.4.1 交错级数及其敛散性的判别198

8.4.2 绝对收敛与条件收敛199

习题8.4200

8.5 幂级数202

8.5.1 幂级数的概念202

8.5.2 幂级数的敛散性202

习题8.5204

8.6 泰勒公式与函数的幂级数展开式205

8.6.1 泰勒中值定理的引入205

8.6.2 泰勒定理205

8.6.3 泰勒级数与麦克劳林级数207

8.6.4 函数展开成幂级数的方法209

习题8.6211

8.7 级数理论的应用211

8.7.1 函数的幂级数展开式应用——近似计算211

8.7.2 级数在经济学上的应用212

习题8.7213

数学家简介——莱布尼兹213

第9章 多元函数微积分理论215

9.1 空间解析几何简介215

9.1.1 空间直角坐标系215

9.1.2 空间两点间的距离215

9.1.3 空间曲面及其方程216

习题9.1218

9.2 多元函数的基本概念218

9.2.1 平面点集218

9.2.2 多元函数的概念219

习题9.2220

9.3 二元函数的极限与连续221

9.3.1 二元函数的极限221

9.3.2 二元函数的连续性223

9.3.3 二元连续函数的性质224

9.3.4 多元初等函数的连续性225

习题9.3225

9.4 偏导数226

9.4.1 偏导数的概念及其计算226

9.4.2 偏导数的几何意义229

9.4.3 偏导数与连续的关系229

9.4.4 偏导数的经济意义229

9.4.5 偏导数在经济分析中的应用230

9.4.6 高阶偏导数231

习题9.4233

9.5 全微分234

9.5.1 全微分的概念234

9.5.2 函数可微的条件235

9.5.3 全微分在近似计算中的应用237

习题9.5238

9.6 多元复合函数的求导法则238

9.6.1 中间变量是一元函数的情况238

9.6.2 中间变量是多元函数的情况239

习题9.6241

9.7 多元隐函数的求导法则241

习题9.7242

9.8 二元函数的极值、最值及其求法243

9.8.1 二元函数极值及其求法243

9.8.2 二元函数的最值及其求法244

习题9.8246

9.9 条件极值与拉格朗日乘数法247

习题9.9248

9.10 多元函数微积分理论的应用249

9.10.1 在几何学上的应用249

9.10.2 在经济上的应用250

习题9.10251

数学家简介——傅里叶252

第10章 广义积分与Euler积分253

10.1 广义积分的提出背景253

10.2 无穷区间上的广义积分254

10.2.1 无穷区间上广义积分的概念254

10.2.2 无穷区间上广义积分的性质256

10.2.3 无穷区间上广义积分的敛散性判别法257

习题10.2258

10.3 有限区间上无界函数的广义积分（瑕积分）259

10.3.1 有限区间上无界函数的广义积分的概念259

10.3.2 无穷限积分的性质261

10.3.3 无界函数广义积分的敛散性判别法262

习题10.3262

10.4 Euler积分264

10.4.1 Euler第一型积分：B函数B（p,q）264

10.4.2 Euler第二型积分：Γ函数Γ（s）265

10.4.3 Γ函数和B函数的关系266

习题10.4266

数学家简介——欧拉266

第11章 重积分268

11.1 实际生活中的两个问题案例及其求解思路268

11.1.1 曲顶柱体的体积268

11.1.2 平面薄片的质量269

11.2 二重积分的概念及性质269

11.2.1 二重积分的概念269

11.2.2 二重积分的几何意义271

11.2.3 二重积分的性质271

习题11.2272

11.3 二重积分的计算273

11.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算273

11.3.2 在极坐标系下二重积分的计算278

习题11.3281

11.4 二重积分的应用282

11.4.1 利用二重积分求曲面面积和曲顶柱体的体积282

11.4.2 平面薄片的重心284

11.4.3 平面薄片的转动惯量286

11.4.4 平面薄片对质点的引力287

习题11.4287

11.5 三重积分288

习题11.5292

数学家简介——泰勒292

附录A 《高等数学》数学符号及希腊字母中英文发音列表294

附录B 基于MATLAB数学软件的常用一元函数的图形295

参考文献301