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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数及其代数运算1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的四则运算1

1.2 复数的几何表示3

1.2.1 用平面上的点和向量表示复数3

1.2.2 模和辐角4

1.3 复数的乘方与开方7

1.3.1 乘积与商7

1.3.2 乘幂与方根9

1.3.3 复平面上的曲线12

1.4 复球面与平面区域14

1.4.1 复球面14

1.4.2 区域15

1.5 复变函数17

1.5.1 复变函数的概念17

1.5.2 复变函数的极限19

1.5.3 复变函数的连续性20

习题122

第2章 解析函数26

2.1 解析函数的概念26

2.1.1 复变函数的导数26

2.1.2 复变函数微分的概念28

2.1.3 解析函数的概念29

2.2 函数解析的充要条件30

2.3 初等函数34

2.3.1 指数函数34

2.3.2 对数函数35

2.3.3 幂函数36

2.3.4 三角函数38

2.3.5 反三角函数39

2.3.6 双曲函数和反双曲函数40

习题241

第3章 复变函数积分43

3.1 复变函数积分的概念43

3.1.1 复变函数积分的定义43

3.1.2 复变函数积分的性质44

3.1.3 复变函数积分存在的条件与基本计算方法44

3.2 柯西-古尔萨定理与复合闭路定理47

3.2.1 柯西-古尔萨定理47

3.2.2 复合闭路定理49

3.3 原函数与不定积分51

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式54

3.4.1 柯西积分公式54

3.4.2 高阶导数公式56

3.5 解析函数与调和函数的关系60

3.5.1 调和函数与共轭调和函数60

3.5.2 共轭调和函数的求法61

习题363

第4章 级数66

4.1 复数项级数66

4.1.1 复数列的极限66

4.1.2 级数的概念67

4.2 幂级数70

4.2.1 复变函数项级数70

4.2.2 幂级数的概念71

4.2.3 收敛圆与收敛半径72

4.2.4 幂级数的运算性质和分析性质75

4.3 泰勒级数76

4.4 洛朗级数81

习题488

第5章 留数91

5.1 孤立奇点91

5.1.1 孤立奇点的类型91

5.1.2 函数在无穷远点的性态96

5.2 留数99

5.2.1 留数的定义及留数定理99

5.2.2 函数在极点的留数计算准则101

5.2.3 函数在无穷远点的留数104

5.3 留数在定积分计算上的应用107

5.3.1 形如∫2π0R（cosθ,sinθ）dθ的积分107

5.3.2 形如∫+∞-∞R（x）dx的积分109

5.3.3 形如∫+∞-∞R（x）eiax dx （a＞0）的积分111

5.3.4 积分路径上有奇点的积分113

5.4 对数留数与辐角原理115

5.4.1 对数留数115

5.4.2 辐角原理117

习题5119

第6章 共形映射122

6.1 共形映射的概念122

6.1.1 曲线的切向量122

6.1.2 解析函数的导数的几何意义123

6.1.3 共形映射的概念125

6.2 分式线性映射126

6.2.1 分式映射的概念126

6.2.2 分式映射的三种特殊形式126

6.2.3 分式映射的性质128

6.2.4 唯一决定分式映射的条件131

6.2.5 两个典型区域间的映射132

6.3 几个初等函数所构成的映射135

6.3.1 幂函数w＝zn（n≥2,n∈Z）135

6.3.2 指数函数w＝ez137

习题6139

第7章 MATLAB在复变函数中的应用141

7.1 复数的运算141

7.1.1 复数的实部、虚部、共轭复数和辐角141

7.1.2 复数的运算142

7.2 复变函数的图形143

7.2.1 三角函数的图形143

7.2.2 其他函数的图形144

7.3 复变函数的微积分148

7.3.1 复变函数的极限148

7.3.2 复变函数求导149

7.3.3 复变函数求积分150

7.3.4 复变函数方程求解151

7.4 留数的计算与泰勒级数展开151

7.4.1 留数的计算151

7.4.2 泰勒级数展开153

参考答案154

参考文献163