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第1章 引言1

1.1 偏微分方程的定义与典型实例1

1.2 偏微分方程的发展历史4

1.3 偏微分方程的研究方法9

1.4 偏微分方程的基本概念10

1.5 各章节内容简介12

习题114

第2章 方程的导出、分类与化简15

2.1 波动方程的导出及其定解问题15

2.1.1 弦振动方程及其定解问题15

2.1.2 膜振动方程及其定解问题17

2.2 热传导方程的导出及其定解问题20

2.3 位势方程及其定解问题22

2.4 定解问题的适定性23

2.5 二元二阶线性偏微分方程的分类与化简24

2.6 多元二阶线性偏微分方程的分类与化简30

习题233

第3章 双曲型方程35

3.1 解一维波动方程的达朗贝尔法35

3.1.1 无界弦的自由振动方程35

3.1.2 半无界弦的自由振动方程38

3.1.3 弦强迫振动方程40

3.2 解高维波动方程的球面平均法43

3.2.1 高维波动方程的哥西问题43

3.2.2 依赖区域、决定区域和影响区域50

3.3 解波动方程混合问题的分离变量法52

3.3.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题52

3.3.2 具诺伊曼边界条件的弦自由振动方程的混合问题56

3.3.3 非齐次问题的解法58

3.3.4 高维波动方程的混合问题61

3.4 波动方程解的唯一性和稳定性64

3.4.1 能量积分与混合问题解的唯一性和稳定性64

3.4.2 哥西问题解的唯一性和稳定性67

3.5 例题与方法选讲71

3.5.1 具罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题71

3.5.2 圆域上弦自由振动方程混合问题与贝塞尔函数75

3.5.3 特征线法80

3.5.4 广义哥西问题85

习题387

第4章 抛物型方程104

4.1 傅里叶积分变换104

4.1.1 傅里叶积分公式与傅里叶积分变换104

4.1.2 傅里叶积分变换的性质107

4.1.3 举例108

4.2 热传导方程的哥西问题111

4.2.1 泊松公式111

4.2.2 热传导方程哥西问题解的存在性112

4.3 热传导方程的混合问题116

4.4 极值原理与定解问题的适定性120

4.4.1 极值原理120

4.4.2 第一边值问题解的最大模估计与适定性122

4.4.3 第二、第三边值问题解的最大模估计与适定性123

4.4.4 哥西问题解的适定性126

4.5 例题与方法选讲127

4.5.1 多元函数的傅里叶变换127

4.5.2 圆域上热传导方程混合问题130

4.5.3 拉普拉斯变换131

习题4140

第5章 椭圆型方程153

5.1 极值原理与最大模估计153

5.1.1 极值原理及其推论153

5.1.2 定解问题解的最大模估计与适定性157

5.1.3 调和方程的外问题161

5.2 调和方程的格林函数163

5.2.1 调和方程的基本解163

5.2.2 格林公式164

5.2.3 格林函数167

5.2.4 球上的格林函数与泊松公式170

5.2.5 半空间上的格林函数与泊松公式175

5.3 调和函数的性质178

5.4 牛顿位势与泊松方程183

5.5 佩隆方法187

5.6 例题与方法选讲192

5.6.1 特殊区域上格林函数举例192

5.6.2 哈纳克不等式的应用196

5.6.3 先验估计的应用点滴198

习题5203

第6章 一阶偏微分方程与哥西—柯瓦列夫斯卡娅定理213

6.1 一阶拟线性偏微分方程214

6.1.1 特征方程组与特征线214

6.1.2 一阶拟线性偏微分方程的哥西问题216

6.1.3 举例219

6.2 一阶完全非线性偏微分方程222

6.2.1 特征方程组与特征带223

6.2.2 一阶完全非线性偏微分方程的哥西问题227

6.3 实解析函数232

6.4 哥西—柯瓦列夫斯卡娅定理236

6.5 例题与方法选讲242

6.5.1 用包络生成解242

6.5.2 化高阶方程为一阶拟线性方程组247

习题6248

第7章 变分原理与偏微分方程的广义解250

7.1 变分原理250

7.2 偏微分方程的广义解256

7.3 变分直接方法大意262

习题7265

参考文献266

索引267