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第1章 函数 极限 连续1

1.1函数1

1.1.1函数的概念1

1.1.2分段函数5

1.1.3函数的几种特性5

1.1.4复合函数和初等函数7

1.1.5函数模型的建立13

思考题14

习题1.114

1.2极限15

1.2.1数列的极限15

1.2.2函数的极限16

1.2.3无穷小量与无穷大量19

思考题20

习题1.220

1.3极限的运算21

1.3.1极限的四则运算法则21

1.3.2两个重要极限24

1.3.3无穷小量的比较27

思考题29

习题1.329

1.4函数的连续性30

1.4.1函数连续性的定义30

1.4.2初等函数的连续性34

1.4.3闭区间上连续函数的性质34

思考题35

习题1.435

阅读材料36

第2章 导数与微分39

2.1导数的概念39

2.1.1变化率问题举例39

2.1.2导数的定义及几何意义41

2.1.3函数的可导性与连续性43

2.1.4导数基本公式43

习题2.145

2.2导数的运算46

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则46

2.2.2反函数的求导法则48

2.2.3复合函数的求导法则50

2.2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则52

2.2.5高阶导数55

习题2.258

2.3函数的微分及其应用59

2.3.1微分的定义59

2.3.2微分的几何意义61

2.3.3微分的运算61

2.3.4微分在近似计算中的应用62

习题2.363

第3章 导数的应用64

3.1微分中值定理64

3.1.1罗尔定理64

3.1.2拉格朗日定理65

3.1.3柯西定理66

习题3.166

3.2罗必达法则67

3.2.1 “0/0”型未定式67

3.2.2 “∞/∞”型未定式68

3.2.3其他类型未定式69

习题3.271

3.3函数的单调性及其极值71

3.3.1函数单调性的判定72

3.3.2函数的极值74

习题3.377

3.4曲线的凹向和拐点 函数图形的描绘77

3.4.1曲线的凹向及其判定78

3.4.2曲线的拐点79

3.4.3曲线的渐近线80

3.4.4函数图形的描绘80

习题3.483

3.5函数的最大值和最小值83

3.5.1函数在闭区间上的最大值与最小值83

3.5.2应用问题举例84

习题3.586

3.6导数在经济分析中的应用87

3.6.1边际分析87

3.6.2弹性分析88

习题3.689

第4章 积分学及其应用91

4.1不定积分的概念与性质91

4.1.1原函数的概念91

4.1.2不定积分的定义92

4.1.3不定积分的几何意义93

4.1.4不定积分的性质93

4.1.5不定积分的基本公式94

习题4.197

4.2定积分的概念与性质97

4.2.1引例97

4.2.2定积分的概念100

4.2.3定积分的几何意义101

4.2.4定积分的性质102

习题4.2104

4.3微积分基本定理104

4.3.1积分上限函数104

4.3.2微积分基本定理106

习题4.3108

阅读材料109

4.4积分法110

4.4.1换元积分法110

4.4.2分部积分法118

4.4.3有理函数的积分122

习题4.4124

4.5广义积分125

4.5.1无限区间上的广义积分125

4.5.2无界函数的广义积分127

习题4.5129

4.6定积分在几何上的应用129

4.6.1定积分的微元法129

4.6.2平面图形的面积130

4.6.3体积133

习题4.6136

4.7定积分在经济上的应用136

习题4.7138

4.8定积分在物理方面的应用138

4.8.1变力沿直线所做的功139

4.8.2液体的压力140

习题4.8140

第5章 常微分方程141

5.1微分方程的基本概念141

5.1.1引例141

5.1.2微分方程的基本概念142

5.1.3微分方程解的几何意义143

习题5.1143

5.2可分离变量的微分方程 齐次微分方程144

5.2.1可分离变量的微分方程144

5.2.2齐次微分方程145

习题5.2147

5.3一阶线性微分方程148

5.3.1一阶线性微分方程的概念148

5.3.2一阶齐次线性微分方程的解法148

5.3.3一阶非齐次线性微分方程的解法149

习题5.3152

5.4二阶常系数齐次线性微分方程152

5.4.1二阶常系数齐次线性微分方程的概念152

5.4.2二阶常系数齐次线性微分方程解的结构152

5.4.3二阶常系数齐次线性微分方程的解法153

习题5.4156

5.5二阶常系数非齐次线性微分方程156

5.5.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构156

5.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法157

习题5.5161

5.6常微分方程的应用举例161

习题5.6165

第6章 拉普拉斯变换166

6.1拉普拉斯变换的基本概念166

6.1.1拉氏变换的基本概念166

6.1.2工程中常用的两个函数及其拉氏变换168

习题6.1170

6.2拉普拉斯变换的性质171

习题6.2174

6.3拉普拉斯变换的逆变换174

习题6.3177

6.4拉普拉斯变换应用举例178

6.4.1解常系数线性微分方程178

6.4.2线性系统的传递函数180

习题6.4182

第7章 无穷级数184

7.1数项级数的概念和性质184

7.1.1引例184

7.1.2数项级数的基本概念185

7.1.3数项级数的基本性质188

7.1.4数项级数收敛的必要条件189

习题7.1190

7.2数项级数的审敛法190

7.2.1正项级数及其审敛法190

7.2.2交错级数及其审敛法195

7.2.3绝对收敛与条件收敛196

习题7.2197

7.3幂级数198

7.3.1函数项级数的概念198

7.3.2幂级数及其敛散性199

7.3.3幂级数在收敛区间上的性质203

习题7.3204

7.4函数的幂级数展开式205

7.4.1泰勒级数205

7.4.2函数展开成幂级数206

7.4.3幂级数展开式在近似计算中的应用210

习题7.4211

7.5傅里叶级数211

7.5.1三角级数 三角函数系的正交性211

7.5.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数214

7.5.3正弦级数和余弦级数219

7.5.4任意区间上的函数展开为傅里叶级数222

习题7.5224

第8章 线性代数初步225

8.1行列式的定义225

8.1.1二阶、三阶行列式225

8.1.2 n阶行列式229

习题8.1231

8.2行列式的性质与计算232

8.2.1行列式的性质232

8.2.2行列式的计算235

习题8.2237

8.3克莱姆法则237

习题8.3242

8.4矩阵的概念与运算243

8.4.1矩阵的概念243

8.4.2矩阵的运算246

习题8.4252

8.5逆矩阵与初等变换253

8.5.1逆矩阵253

8.5.2矩阵的初等变换256

习题8.5263

8.6 矩阵的秩263

8.6.1矩阵的秩的概念263

8.6.2初等行变换求矩阵的秩264

习题8.6265

8.7线性方程组解的判定265

8.7.1高斯消元法265

8.7.2线性方程组解的判定269

习题8.7275

第9章 Mathematica教程初步276

9.1 Mathematica基础276

9.1.1 Mathematica的主要特点和功能276

9.1.2 Mathematica入门277

9.1.3算术运算278

9.1.4代数运算278

思考题279

习题9.1279

9.2用Mathematica进行函数运算279

9.2.1常用函数279

9.2.2变量280

9.2.3自定义函数281

思考题282

习题9.2282

9.3用Mathematica进行极限运算282

思考题284

习题9.3284

9.4用Mathematica进行导数运算284

9.4.1求一元函数导数285

9.4.2求高阶导数286

9.4.3求由参数方程确定的函数的导数286

9.4.4求隐函数的导数287

思考题287

习题9.4287

9.5用Mathematica进行导数应用运算287

习题9 5289

9.6用Mathematica进行一元函数的积分运算289

思考题291

习题9.6291

9.7用Mathematica进行微分方程运算291

思考题292

习题9.7292

9.8用Mathematica进行级数及拉普拉斯变换运算293

思考题296

习题9.8296

9.9用Mathematica进行线性代数运算296

9.9.1矩阵的生成296

9.9.2矩阵基本运算297

9.9.3矩阵的秩与线性方程组298

习题9.9299

习题参考答案301

附录316

附录一 几种常见曲线316

附录二 积分表318

附录三 拉氏变换表321

参考文献323