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第一章 矩阵及其运算1

1.1矩阵的概念1

一、m ×n矩阵1

二、几种特殊的矩阵2

三、同型矩阵与矩阵相等3

习题1.13

1.2矩阵的代数运算4

一、矩阵的加（减）法运算4

二、矩阵的数乘运算4

三、矩阵的乘法运算5

四、方阵的幂与方阵多项式8

习题1.29

1.3矩阵的转置与分块10

一、矩阵的转置10

二、矩阵的分块12

三、分块矩阵的转置16

习题1.316

1.4矩阵的初等变换17

一、矩阵的初等变换17

二、初等矩阵17

三、初等变换与初等矩阵的关系18

四、阶梯形矩阵与矩阵相抵标准形20

习题1.423

1.5矩阵的求逆运算23

一、可逆矩阵及其逆矩阵23

二、可逆矩阵的性质24

三、用初等变换求逆矩阵的方法25

习题1.527

复习题一27

第二章 行列式30

2.1行列式的完全展开式30

一、排列及其逆序数31

二、对换31

三、n阶行列式的完全展开式32

四、三角行列式33

习题2.134

2.2计算行列式的一般方法35

一、行列式的性质35

二、行列式按行（列）展开的公式42

三、范德蒙行列式44

习题2.245

2.3计算行列式的几种特殊方法47

一、加边法47

二、归纳法与递推法48

三、利用已知行列式的结果49

习题2.350

2.4行列式乘积定理50

一、拉普拉斯（Laplace）定理50

二、推论51

三、行列式乘积定理52

习题2.453

2.5非奇异矩阵54

一、可逆矩阵与非奇异矩阵的等价性54

二、可逆矩阵与初等矩阵乘积的等价性55

三、用初等变换求逆矩阵的原理56

习题2.556

复习题二57

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩60

3.1 n维向量及其线性运算60

一、n维向量的概念60

二、向量的线性运算61

习题3.162

3.2向量组的线性相关与线性无关62

一、线性组合的概念62

二、线性相关与线性无关62

三、线性相关的性质63

习题3.266

3.3向量组的秩66

一、向量组等价66

二、向量组的极大无关组67

三、向量组的秩67

习题3.369

3.4矩阵的秩70

一、矩阵的行秩与列秩70

二、矩阵秩的等价定义70

三、矩阵秩的性质72

四、定理1的应用举例73

习题3.475

3.5 n维向量空间75

一、向量空间的概念75

二、向量空间的基76

三、向量在基下的坐标77

四、基变换与坐标变换77

习题3.581

3.6 Rn的标准正交基与正交矩阵82

一、向量内积与向量的模82

二、向量正交83

三、标准正交基与施密特（Schmidt）正交化方法84

四、正交矩阵87

习题3.688

复习题三88

第四章 线性方程组92

4.1线性方程组及其同解变换92

一、m×n型线性方程组92

二、线性方程组的同解变换93

习题4.193

4.2克莱姆（Cramer）法则94

一、克莱姆法则94

二、克莱姆法则的理论意义96

习题4.296

4.3齐次线性方程组97

一、解的性质97

二、基础解系97

三、通解99

习题4.3101

4.4非齐次线性方程组102

一、有解的判定定理102

二、解的结构103

三、通解103

习题4.4108

复习题四108

第五章 矩阵的特征值与特征向量111

5.1矩阵的特征值与特征向量111

一、特征值与特征向量的概念111

二、求特征值与特征向量111

三、特征值与特征向量的性质114

习题5.1117

5.2相似矩阵与矩阵的相似对角化118

一、矩阵相似118

二、矩阵的相似对角化119

三、矩阵可对角化的充分必要条件120

习题5.2121

5.3实对称矩阵的正交相似对角化122

一、实对称矩阵的性质122

二、实对称矩阵的正交相似对角化步骤124

习题5.3127

复习题五127

第六章 二次型130

6.1二次型及其矩阵表示130

一、n元二次型130

二、二次型矩阵与秩131

习题6.1132

6.2二次型的标准形与规范形132

一、二次型的标准形与规范形132

二、化二次型为标准形的方法133

三、化二次型为规范形135

四、唯一性问题135

习题6.2137

6.3正定二次型137

一、正定二次型与正定矩阵137

二、正定二次型与正定矩阵的判定138

三、二次型的分类与应用140

习题6.3142

复习题六142

习题参考答案与提示144