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第一章　函数1

第一节　函数1

一、常量与变量1

二、函数的定义1

三、单值与多值函数2

四、函数的表示3

五、反函数3

习题1-1（A）4

习题1-1（B）4

第二节　函数的性质5

一、有界性5

二、周期性5

三、单调性6

四、奇偶性7

习题1-2（A）7

习题1-2（B）8

第三节　初等函数8

一、基本初等函数8

二、复合函数11

三、初等函数12

四、双曲函数与反双曲函数12

习题1-3（A）14

习题1-3（B）14

复习题一15

典型例题解析16

第二章　极限与连续20

第一节　数列的极限20

一、数列的概念20

二、数列极限21

三、数列极限的几何意义22

习题2-1（A）23

习题2-1（B）24

第二节　函数的极限24

一、自变量x趋于无穷大时，函数的极限24

二、自变量趋于有限值的函数极限25

三、单侧极限26

四、函数极限的性质27

五、函数极限的运算法则27

习题2-2（A）28

习题2-2（B）29

第三节　两个重要极限30

重要极限lim/x→∞（1+1/x）x=e31

习题2-3（A）33

习题2-3（B）34

第四节　无穷大量与无穷小量34

一、无穷小量34

二、无穷小量的比较35

三、无穷大量36

习题2-4（A）37

习题2-4（B）38

第五节　函数的连续性和间断点38

一、函数的连续性38

二、函数的间断点40

习题2-5（A）42

习题2-5（B）42

第六节　连续函数的运算与初等函数的连续性43

一、连续函数的和、差、积、商的连续性43

二、反函数与复合函数运算的连续性43

三、初等函数的连续性45

习题2-6（A）46

习题2-6（B）46

第七节　闭区间上连续函数的性质46

一、最大值与最小值46

二、介值定理47

习题2-7（A）48

习题2-7（B）48

复习题二49

第三章　导数和微分51

第一节　导数的概念51

一、概念的引入51

二、导数的定义52

三、导数的几何意义55

四、可导与连续的关系56

习题3-1（A）56

习题3-1（B）57

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则58

习题3-2（A）60

习题3-2（B）61

第三节　复合函数与反函数的求导法则61

一、复合函数的求导法则61

二、反函数求导法则63

习题3-3（A）64

习题3-3（B）64

第四节　隐函数与参数方程所确定的函数的求导法则及对数求导法65

一、隐函数的求导法65

二、取对数求导法66

三、参数方程求导法67

习题3-4（A）68

习题3-4（B）68

第五节　初等函数、双曲函数与反双曲函数的求导法则69

一、基本求导法则69

二、基本初等函数的导数公式69

三、双曲函数与反双曲函数的导数70

习题3-5（A）70

习题3-5（B）70

第六节　高阶导数71

习题3-6（A）73

习题3-6（B）74

第七节　微分75

一、微分的概念75

二、微分的几何意义76

三、微分的运算法则与公式77

习题3-7（A）78

习题3-7（B）78

第八节　微分在近似计算中的应用78

一、函数增量的近似值78

二、函数的近似值79

三、误差分析80

习题3-8（A）81

习题3-8（B）82

复习题三82

第四章 中值定理与导数的应用84

第一节　微分中值定理洛必达法则84

一、微分中值定理84

二、洛必达法则85

习题4-1（A）89

习题4-1（B）89

第二节　函数的单调性及其极值90

一、函数单调性的充分条件90

二、函数的极值及其求法92

习题4-2（A）94

第三节　函数的最大值和最小值94

一、闭区间上连续函数的最大值与最小值95

二、应用问题中的最大值与最小值95

习题4-3（A）97

第四节 曲线的凹凸性与拐点97

凹凸及拐点的定义97

习题4-4（A）99

第五节　函数图形的描绘100

一、渐近线的概念100

二、几个常用的记号，列表如下100

三、函数作图的主要步骤100

习题4-5（A）104

第六节　曲率104

一、概念104

二、曲率的计算公式105

三、曲率半径、曲率中心、曲率圆的概念107

习题4-6（A）107

第五章　不定积分108

第一节　不定积分的概念及性质108

一、原函数与不定积分的概念108

二、基本积分表110

三、不定积分的性质111

习题5-1（A）112

习题5-1（B）113

第二节　换元积分法113

一、第一类换元法114

二、第二类换元积分法118

习题5-2（A）122

习题5-2（B）123

第三节　分部积分法123

习题5-3（A）126

习题5-3（B）127

第四节　几种特殊类型函数的积分127

一、有理函数的积分127

二、三角函数有理式的积分131

三、简单无理函数的积分举例132

习题5-4（A）133

习题5-4（B）134

第五节　积分表的使用134

复习题五136

第六章　定积分及其应用138

第一节　定积分的概念与性质138

一、引例138

二、定积分的定义140

三、定积分的几何意义141

四、定积分的性质142

习题6-1（A）144

习题6-1（B）144

第二节　微积分学的基本定理144

一、积分上限的函数144

二、牛顿—莱布尼兹公式146

习题6-2（A）147

习题6-2（B）148

第三节　定积分的换元积分法与分部积分法148

一、定积分的换元积分法149

二、定积分的分部积分法150

习题6-3（A）151

习题6-3（B）152

第四节　广义积分152

一、无穷区间上的广义积分152

二、无界函数的广义积分（瑕积分）153

习题6-4（A）154

习题6-4（B）155

第五节　定积分的应用155

一、定积分的元素法155

二、平面图形的面积156

三、体积158

四、平面曲线的弧长159

五、定积分在物理上的应用161

习题6-5（A）161

习题6-5（B）163

复习题六163

第七章　微分方程165

第一节　微分方程的基本概念165

习题7-1（A）166

习题7-1（B）166

第二节　可分离变量的微分方程166

习题7-2（A）168

习题7-2（B）168

第三节　齐次方程168

习题7-3（A）170

习题7-3（B）171

第四节　一阶线性微分方程171

习题7-4（A）174

习题7-4（B）175

第五节　可降阶的高阶微分方程175

一、y(n)=f（x）（n阶微分方程）175

二、y″=f（x,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“y”176

三、y″=f（y,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“x”176

四、其他微分方程177

习题7-5（A）178

习题7-5（B）178

第六节　高阶线性微分方程178

一、二阶线性齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=0（*）的解的结构178

二、二阶线性非齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（**）解的结构179

习题7-6（A）180

习题7-6（B）180

第七节　二阶常系数线性微分方程181

一、二阶常系数线性齐次微分方程的求解181

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的求解183

三、自由项f（x）=pm（x）eλx,pm（x）是一个m次的多项式183

四、自由项f（x）=pm（x）eλxcosωx，或f（x）=pm（x）eλxsinωx185

习题7-7（A）186

习题7-7（B）187

第八节　常微分方程的应用187

习题7-8（A）189

习题7-8（B）189

复习题七190

第八章　空间解析几何与向量代数193

第一节　空间直角坐标系193

一、空间直角坐标系193

二、空间点的距离194

习题8-1（A）194

习题8-1（B）195

第二节　向量（矢量）195

一、向量的概念195

二、向量的线性运算195

三、向量的投影与投影向量196

四、向量的坐标表示与分向量197

五、向量的模、方向余弦的计算198

习题8-2（A）200

习题8-2（B）200

第三节　向量的乘法200

一、向量的数量积（点积、内积）200

二、向量的向量积（叉乘积，外积）202

习题8-3（A）205

习题8-3（B）206

第四节　空间的曲面以及方程206

一、球面206

二、旋转面206

三、柱面（母线平行于坐标轴的柱面）208

习题8-4（A）209

习题8-4（B）209

第五节　空间曲线的方程209

一、空间曲线的一般方程209

二、空间曲线的参数方程211

三、空间曲线在坐标平面上的投影曲线211

四、空间区域Ω或空间曲面∑在坐标平面上的投影区域D212

习题8-5（A）213

习题8-5（B）214

第六节　平面及其方程214

一、平面方程214

习题8-6（A）218

习题8-6（B）218

第七节　空间直线的方程219

一、直线的点向式方程（对称式）219

二、直线的参数式方程220

三、直线的一般方程（两平面的交线交面式）220

四、两条直线的夹角θ（0≤θ≤π/2）221

五、直线与平面的位置关系222

六、平面束方程222

习题8-7（A）223

习题8-7（B）224

第八节　二次曲面225

一、椭球面：x2/a2+y2/b2+z2/c2=1225

二、抛物面225

三、双曲面226

习题8-8（A）226

复习题八227

第九章　多元函数微分法及其应用228

第一节　多元函数的基本概念228

一、区域228

二、多元函数概念229

三、多元函数的极限230

四、多元函数的连续性232

习题9-1（A）234

习题9-1（B）234

第二节　偏导数235

一、偏导数的定义及其计算法235

二、高阶偏导数238

习题9-2（A）239

习题9-2（B）240

第三节　全微分240

全微分的定义240

习题9-3（A）243

习题9-3（B）243

第四节　多元复合函数的求导法则244

习题9-4（A）248

习题9-4（B）248

第五节　隐函数的求导公式249

一、一个方程的情形249

二、方程组的情形251

习题9-5（A）253

习题9-5（B）253

第六节　微分法在几何上的应用254

一、空间曲线的切线与法平面254

二、曲线的切平面与法线256

习题9-6（A）259

习题9-6（B）259

第七节　多元函数的极值及其求法259

一、多元函数的极值及最大值、最小值259

二、条件极值，拉格朗日乘数法262

习题9-7（A）264

习题9-7（B）264

复习题九265

第十章　重积分267

第一节　二重积分的概念与性质267

一、二重积分的概念267

二、二重积分的性质269

习题10-1（A）271

习题10-1（B）271

第二节　二重积分的计算法272

一、利用直角坐标计算二重积分272

二、利用极坐标计算二重积分276

习题10-2（A）278

习题10-2（B）280

第三节　二重积分的应用281

一、曲面的面积281

二、平面薄片的质心282

三、平面薄片的转动惯量284

四、平面薄片对质点的引力284

习题10-3（A）285

习题10-3（B）285

第四节　三重积分的概念及其计算法286

一、三重积分的定义286

二、三重积分的存在定理286

三、三重积分的物理意义286

四、三重积分在直角坐标系下的计算法287

五、三重积分在柱面坐标系下的计算法289

六、三重积分在球面坐标系下的计算法291

习题10-4（A）293

习题10-4（B）294

复习题十294

第十一章 曲线积分与曲面积分296

第一节　对弧长的曲线积分296

一、对弧长曲线积分的概念与性质296

二、对弧长曲线积分的计算297

习题11-1（A）300

习题11-1（B）300

第二节　对坐标的曲线积分301

一、对坐标的曲线积分定义和性质301

二、计算302

三、两类曲线积分的关系303

习题11-2（A）304

习题11-2（B）304

第三节　格林公式305

一、格林（Green）公式305

二、平面上曲线积分与路径无关的条件306

习题11-3（A）310

习题11-3（B）311

第四节　对面积的曲线积分312

一、概念和性质312

二、计算313

习题11-4（A）314

习题11-4（B）315

第五节　对坐标的曲面积分315

一、定义、性质315

二、计算317

三、两类曲面积分间的关系318

习题11-5（A）320

习题11-5（B）320

第六节　高斯公式通量与散度321

一、高斯（Gauss）公式321

二、通量与散度323

习题11-6（A）323

习题11-6（B）324

第七节　斯托克斯公式环流量与旋度324

一、斯托克斯公式324

二、环流量、旋度325

习题11-7（A）326

习题11-7（B）326

复习题十一326

第十二章　无穷级数328

第一节　常数项级数的概念与性质328

一、常数项级数的概念328

二、常数项级数的性质329

习题12-1（A）331

习题12-1（B）331

第二节　常数项级数的收敛法331

一、正项级数的收敛法331

二、交错级数的收敛法333

三、绝对收敛与条件收敛334

习题12-2（A）335

习题12-2（B）335

第三节　幂级数335

幂级数及其收敛半径335

习题12-3（A）338

习题12-3（B）339

第四节　函数的幂级数展开339

一、泰勒公式与泰勒级数339

二、函数展开成幂级数340

习题12-4（A）343

习题12-4（B）343

第五节　傅里叶级数343

一、三角函数系的正交性344

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数345

三、正弦函数与余弦函数349

四、以2l为周期的函数展成傅里叶级数351

本章小结352

习题12-5（A）353

习题12-5（B）354

复习题十二354

附录　积分表356