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第1章 绪论1

1.0 引言1

1.1 程序组织和控制结构4

1.2 科学计算的C++约定11

1.3　向量和矩阵类的实施17

1.4　误差、准确性和稳定性21

第2章　线性代数方程组求解24

2.0　引言24

2.1　Gauss-Jordan消去法26

2.2　具有回代过程的高斯消去法30

2.3　LU分解法及其应用31

2.4　三对角及带状对角系统方程37

2.5　线性方程组解的迭代改进40

2.6　奇异值分解43

2.7　稀疏线性方程组51

2.8　Vandermonde矩阵和Toeplitz矩阵66

2.9　深入讨论：Cholesky分解71

2.10　深入讨论：QR分解73

2.11　矩阵求逆是否是N3阶运算76

第3章　内插法和外推法79

3.0　引言79

3.1　多项式内插法和外推法81

3.2　有理函数内插法和外推法83

3.3　三次样条插值85

3.4　搜索有序表的方法87

3.5　插值多项式的系数89

3.6　二维或高维插值91

第4章　函数积分97

4.0　引言97

4.1　坐标等距划分的经典公式98

4.2　基本算法101

4.3　龙贝格积分104

4.4　广义积分105

4.5　高斯求积法与正交多项式110

4.6　多维积分121

5.1　级数与其收敛性124

5.0　引言124

第5章　函数求值124

5.2　连分式求值126

5.3　多项式和有理函数129

5.4　复数运算132

5.5　递推关系及Clenshaw递推公式133

5.6　二次方程和三次方程136

5.7　数值求导137

5.8　切比雪夫逼近140

5.9　切比雪夫逼近函数的微分和积分143

5.10　切比雪夫系数的多项式逼近145

5.11　深入讨论：幂级数的化简146

5.12　深入讨论：帕德逼近147

5.13　深入讨论：有理切比雪夫逼近150

5.14　线积分求函数值153

第6章　特殊函数156

6.0　引言156

6.1　Γ函数、B函数、阶乘、二项式系数156

6.2　不完全Γ函数、误差函数、X2概率函数、累积泊松函数159

6.3　指数积分163

6.4　不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布166

6.5　整数阶贝塞尔函数169

6.6　修正的整数阶贝塞尔函数174

6.7　深入讨论：分数阶贝塞尔函数、艾里函数、球面贝塞尔函数178

6.8　球面调和函数188

6.9　Fresnel积分、余弦和正弦积分190

6.10　Dawson积分193

6.11　椭圆积分和雅可比椭圆函数194

6.12　超几何函数202

第7章　随机数205

7.0　引言205

7.1　一致偏离205

7.2　变换方法：指数偏离和正态偏离214

7.3　拒绝方法：伽马偏离、泊松偏离、二项偏离216

7.4　随机位的生成221

7.5　深入讨论：基于数据加密的随机序列224

7.6　简单的蒙特卡罗基分228

7.7　准随机序列231

7.8　深入讨论：自适应及递归蒙特卡罗方法236

第8章　排序246

8.0　引言246

8.1　直接插入法和Shell方法247

8.2　快速排序法248

8.3　堆排序法251

8.4　索引和分秩252

8.5　挑选第M大的元素255

8.6　深入讨论：等价类的确定258

第9章　求根与非线性方程组260

9.0　引言260

9.1　划界与二分262

9.2　弦截法、试位法和Ridders方法265

9.3　Van Wijngaarden-Dekker-Brent方法269

9.4　利用导数的Newton-Raphson方法271

9.5　多项式的根275

9.6　非线性方程组的Newton-Raphson方法283

9.7　非线性方程组的全局收敛法285

第10章　函数的极值295

10.0　引言295

10.1　一维黄金分割搜索297

10.2　抛物线内插和一维Brent方法300

10.3　使用一阶导数的一维搜索方法303

10.4　多维下降单纯形法305

10.5　多维情况下的方向集（Powell）方法308

10.6　多维共轭梯度法313

10.7　多维变尺度法317

10.8　线性规划和单纯形法321

10.9　模退火法331

第11章　特征系统341

11.0　引言341

11.1　对称矩阵的雅可比变换345

11.2　将对称矩阵约化为三对角形式：Givens约化和Householder约化350

11.3　三对角矩阵的特征值和特征向量354

11.4　埃尔米特矩阵358

11.5　将一般矩阵化为Hessenberg形式359

11.6　实Hessenberg矩阵的QR算法362

11.7　用逆迭代法改进特征值并求解特征向量367

第12章　快速傅里叶变换370

12.0　引言370

12.1　离散样本数据的傅里叶变换373

12.2　快速傅里叶变换（FFT）375

12.3　实函数的FFT、弦变换和余弦变换380

12.4　二维或多维的FFT388

12.5　二维和三维实数据的傅里叶变换391

12.6　深入讨论：外部存储和局部内存的FFT395

第13章　傅里叶和谱的应用400

13.0　引言400

13.1　使用FFT做卷积和解卷积400

13.2　使用FFT做相关和自相关405

13.3　具有FFT的最优（维纳）滤波406

13.4　使用FFT做功率谱估计408

13.5　深入讨论：时域中的数字滤波414

13.6　线性预测和线性预测编码419

13.7　深入讨论：用最大熵（全极）方法做功率谱估计424

13.8　深入讨论：非均匀取样数据的谱分析427

13.9　深入讨论：使用FFT计算傅里叶积分434

13.10　小波变换439

13.11　深入讨论：取样定理的数值应用450

第14章　数据的统计描述452

14.0　引言452

14.1　分布的矩：均值、方差、偏斜度等453

14.2　两种分布是否具有相同的均值和方差456

14.3　两种分布是否不同459

14.4　两种分布的列联表分析465

14.5　线性相关470

14.6　非参数相关或秩相关472

14.7　深入讨论：二维分布477

14.8　深入讨论：Savitzky-Golay平滑滤波器480

第15章　数据建模485

15.0　引言485

15.1　最大似然估计的最小二乘方法485

15.2　拟合数据成直线488

15.3　深入讨论：两个坐标数据都有误差的直线拟合491

15.4　一般的线性最小二乘方495

15.5　非线性模型503

15.6　被估模型参数的置信界限508

15.7　稳健估计515

第16章　常微分方程组的积分521

16.0　引言521

16.1　Runge-Kutta方法523

16.2　Runge-Kutta方法的自适应步长控制526

16.3　修正中点法531

16.4　Richardson外推法和Bulirsch-Stoer方法533

16.5　深入讨论：二阶守恒方程组539

16.6　刚性方程组540

16.7　多步法、多值法和预测-校正法550

17.0　引言554

第17章　两点边值问题554

17.1　打靶法556

17.2　对拟合点打靶558

17.3　深入讨论：松弛法559

17.4　实例：球体调和函数568

17.5　深入讨论：网格点的自动分配575

17.6　深入讨论：内部边界条件或奇异点的处理577

第18章　积分方程和反演理论580

18.0　引言580

18.1　第二类Fredholm方程582

18.2　Volterra方程584

18.3 深入讨论：具有奇异核的积分方程586

18.4Z　反演问题与先验信息的利用591

18.5　线性正则化方法594

18.6　Backus-Gilbert方法599

18.7　最大熵图像恢复601

第19章　偏微分方程607

19.0　引言607

19.1　通量守恒的初值问题612

19.2　扩散初值问题620

19.3　多维初值问题624

19.4　边值问题的傅里叶方法和循环约简法627

19.5　边值问题的松弛法631

19.6　边值问题的多重网格法636

20.1　诊断机器的参数650

20.0　引言650

第20章　非典型的数值算法650

20.2　格雷码654

20.3　循环冗余度校验和其他的校验和式655

20.4　霍夫曼编码与数据压缩660

20.5　算术编码664

20.6　任意精度的运算668

附录A　函数声明表677

附录B　实用例程和类685

附录C　转换为单精度700

参考文献702

程序从属表706

各章节的计算机程序719