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第一章 预备知识——实数集与函数1

1　集合与实数系1

一、集合1

二、区间与邻域2

三、实数及其性质3

四、一点逻辑知识4

习题1-16

2　绝对值和不等式7

一、绝对值7

二、均值不等式和伯努利不等式8

习题1-29

3　有界数集与确界原理10

一、有界集10

二、确界原理11

习题1-313

4　函数概念14

一、映射和函数14

二、函数的表示法15

三、函数的四则运算17

四、复合函数18

五、反函数19

六、初等函数20

习题1-420

5　具有某种特性的函数21

一、有界函数21

二、单调函数22

三、奇函数和偶函数23

四、周期函数23

习题1-524

第二章　极限论25

1　数列极限的概念25

一、数列25

二、数列收敛的定义27

习题2-130

2　收敛数列的性质31

一、收敛数列的基本性质31

二、收敛数列的四则运算性质33

三、子数列35

习题2-235

3　数列收敛的判别准则36

一、夹逼准则36

二、单调有界准则38

三、柯西收敛准则41

习题2-343

4　函数极限概念44

一、当x→∞时函数的极限44

二、当x→x0时函数的极限47

三、单侧极限50

习题2-451

5 函数极限的性质52

一、函数极限的基本性质52

二、函数极限的四则运算性质54

三、复合函数的极限55

习题2-556

6　函数极限存在的条件57

一、夹逼准则57

二、海涅定理及柯西收敛准则58

三、函数的单调有界定理61

四、两个重要极限61

习题2-663

7　无穷小量与无穷大量64

一、无穷小量64

二、无穷小量阶的比较65

三、无穷大量68

习题2-769

第三章 函数的连续性71

1　连续函数的概念71

一、函数在一点的连续性71

二、间断点及其分类75

习题3-177

2　连续函数的性质78

一、连续函数的局部性质78

二、闭区间上连续函数的性质79

三、反函数的连续性82

四、初等函数的连续性83

五、一致连续84

习题3-288

第四章 导数和微分90

1　导数的概念90

一、引例90

二、导数的定义92

三、导函数96

四、导数的几何意义97

习题4-198

2　求导的基本法则100

一、导数的四则运算法则100

二、反函数的导数102

三、复合函数的导数103

四、基本初等函数的求导公式列表105

习题4-2106

3　高阶导数107

一、高阶导数的概念107

二、两个高阶求导法则109

习题4-3110

4　隐函数求导法、由参数方程确定的函数的导数111

一、隐函数求导法111

二、由参数方程确定的函数的导数114

三、由参数方程确定的函数的高阶导数115

习题4-4116

5　微分117

一、微分的概念117

二、微分的运算法则119

三、高阶微分简介121

四、函数的线性近似122

习题4-5124

第五章 微分中值定理及其应用126

1　微分中值定理126

一、函数的极值和费马定理126

二、罗尔定理128

三、拉格朗日中值定理131

四、柯西中值定理135

习题5-1137

2　不定式极限138

一、0/0型不定式极限138

二、∞/∞型不定式极限140

三、其他类型的不定式极限141

习题5-2143

3　泰勒公式144

一、带有各种余项的泰勒公式145

二、几个常用的麦克劳林公式148

三、泰勒公式的某些应用151

习题5-3153

4　函数的单调性、极值与最值154

一、单调性的判别法154

二、函数极值的判别法155

三、最大值与最小值问题159

习题5-4161

5　函数的凸性与拐点162

一、函数的凸（凹）性162

二、函数凹凸性的一般定义及应用165

习题5-5169

6　函数作图170

一、曲线的渐近线170

二、函数作图171

习题5-6173

第六章 一元函数积分学174

1　定积分概念174

一、问题提出174

二、定积分的定义178

习题6-1180

2　可积准则与可积函数类　定积分的基本性质181

一、可积的必要条件181

二、可积函数类182

三、定积分的基本性质182

四、积分中值定理185

五、可积的充要条件186

六、可积函数类的定理补充证明191

七、定积分的性质补充证明194

习题6-2196

3 牛顿-莱布尼茨公式198

习题6-3201

4　不定积分概念与基本积分公式202

一、原函数与不定积分的概念202

二、变限积分函数与原函数的存在性202

三、基本积分表207

四、线性运算208

习题6-4210

5　换元积分法211

一、不定积分的第一换元积分法（凑微分法）211

二、不定积分的第二换元积分法214

三、定积分的换元积分法217

习题6-5219

6　分部积分法221

一、不定积分的分部积分法221

二、定积分的分部积分法223

习题6-6225

7 有理函数和可化为有理函数的积分227

一、有理函数的不定积分227

二、三角有理函数的不定积分231

三、某些无理根式的不定积分232

习题6-7234

第七章 定积分的应用236

1　平面图形的面积236

一、定积分的“微元法”236

二、平面图形面积的一般公式237

三、平面图形面积的极坐标公式240

习题7-1242

2　由平行截面面积求体积243

一、由截面面积函数求体积243

二、旋转体的体积245

习题7-2247

3　平面曲线的弧长与旋转曲面的面积248

一、平面曲线的弧长248

二、旋转体的侧面积252

习题7-3255

4　定积分在物理学中的一些应用255

一、平面曲线的质心255

二、液体静压力257

三、引力258

四、功与平均功率259

习题7-4262

5 定积分的近似计算263

一、矩形公式263

二、梯形公式265

三、辛普森公式266

四、误差估计定理268

第八章 反常积分269

1　反常积分的概念269

一、问题的提出269

二、两类反常积分的定义271

习题8-1274

2　反常积分的性质与收敛判别准则275

一、无穷积分的性质275

二、比较判别法277

三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法280

习题8-2282

3　瑕积分的性质与收敛判别283

习题8-3286

第九章 实数的完备性287

1　关于实数集完备性的基本定理287

一、区间套定理288

二、聚点定理与致密性定理288

三、柯西收敛准则290

四、有限覆盖定理292

习题9-1294

2　闭区间上连续函数的性质295

一、连续函数的基本性质的证明295

二、用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧297

习题9-2299

习题答案300

参考文献317