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目录3

第一部分　矩阵论3

第一章　线性代数基本知识3

§1.1 向量和向量空间3

1.1.1 向量的运算3

1.1.2 向量组的线性相关性和向量组的秩7

1.1.3 向量空间9

习题1.114

§1.2　矩阵及其运算14

1.2.1　矩阵的运算15

1.2.2　可逆矩阵与逆矩阵19

1.2.3　分块矩阵21

习题1.221

§1.3　矩阵的初等变换及其应用22

1.3.1　矩阵的等价24

1.3.2　矩阵的秩28

1.3.3　应用举例35

习题1.340

§1.4　线性方程组41

1.4.1　线性方程组解的存在定理42

1.4.2　线性方程组解的结构44

§1.5　特征值与特征向量47

习题1.447

1.5.1 特征值与特征向量的性质50

1.5.2　方阵的相似变换和相似对角化55

1.5.3　Hermite矩阵和实对称矩阵的特征值和特征向量60

习题1.567

§1.6　实二次型68

习题1.678

第二章　方阵的相似化简79

§2.1　Jordan标准形79

习题2.199

§2.2　Cayley-Hamilton定理100

习题2.2112

§2.3　方阵的酉相似化简113

习题2.3119

§2.4　实方阵的正交相似化简120

习题2.4127

第三章 向量范数和矩阵范数129

§3.1　向量范数129

习题3.1132

§3.2　矩阵范数133

习题3.2141

§3.3　方阵的谱半径142

习题3.3145

第四章　方阵函数与函数矩阵146

§4.1　矩阵序列与矩阵级数146

习题4.1152

§4.2　方阵函数及其计算152

习题4.2163

§4.3　函数矩阵及其应用163

习题4.3171

第五章　矩阵分解172

§5.1　方阵的三角分解172

习题5.1183

§5.2　方阵的正交（酉）三角分解184

习题5.2195

§5.3　矩阵的奇异值分解196

习题5.3205

第六章　线性空间和线性变换206

§6.1　线性空间206

6.1.1　线性空间的定义及例子206

6.1.2　基与维数209

6.1.3　基变换与坐标变换212

6.1.4　子空间和维数定理215

习题6.1219

§6.2　线性变换220

6.2.1 线性变换的定义及矩阵表示220

6.2.2　线性变换的零空间和值空间226

6.2.3　线性变换的最简矩阵表示及不变子空间228

习题6.2234

§6.3 内积空间及两类特殊的线性变换236

习题6.3242

参考书目243

第二部分　数值计算方法247

第一章　误差的基本知识247

§1.1　绝对误差、相对误差及有效数字248

§1.2　数值计算的误差估计及算法稳定性251

§1.3　数值计算中应注意的一些原则259

习题1262

第二章　线性方程组的数值解法263

§2.1　Gauss主元消去法263

§2.2　矩阵分解在解线性方程组中的应用269

§2.3　直接法的误差分析275

§2.4　线性方程组的迭代解法281

§2.5　逐次超松弛迭代法和块迭代法295

2.5.1　逐次超松弛迭代法295

2.5.2　块迭代法300

§2.6　迭代法的数值稳定性和误差分析301

习题2302

第三章　方阵特征值和特征向量的数值计算305

§3.1　特征值的估计305

§3.2　幂法与反幂法309

3.2.1　幂法309

3.2.2　加速方法313

3.2.3　反幂法318

§3.3　QR方法320

3.3.1　QR方法的计算公式321

3.3.2 上Hessenberg矩阵的QR方法及带原点平移的QR方法323

习题3324

第四章　计算函数零点和极值点的迭代法326

§4.1　不动点迭代法及其收敛性327

4.1.1　解一元方程的迭代法328

4.1.2　解非线性方程组的迭代法336

§4.2　Newton迭代法及其变形340

§4.3　无约束优化问题的下降迭代法347

4.3.1　最速下降法349

4.3.2　变尺度法351

习题4358

第五章 函数的插值与最佳平方逼近360

§5.1　多项式插值361

§5.2　样条插值378

§5.3　数据的最小二乘拟合387

§5.4　函数的最佳平方逼近394

§5.5　二元插值411

习题5414

第六章　数值积分与数值微分417

§6.1　Newton-Cotes求积公式419

§6.2　复化求积公式及其余项表达式428

§6.3 Richardson外推法和数值积分的Romberg算法436

6.3.1 Richardson外推法436

6.3.2 数值积分的Romberg算法438

§6.4 Gauss型求积公式441

§6.5　二重积分的计算方法451

§6.6　数值微分454

习题6461

第七章　常微分方程数值解法464

§7.1　初值问题数值解法的构造及其精度466

§7.2　Runge-Kutta方法474

§7.3　线性多步法482

§7.4　预估-校正公式489

§7.5　边值问题的差分法492

习题7499

参考书目501

第三部分　数理统计505

第一章　数理统计的基本概念505

§1.1　总体与样本505

§1.2　统计量与样本矩508

§1.3　数理统计中常用的几个分布511

§1.4　抽样分布519

§1.5　分位数525

习题1527

第二章　参数估计530

§2.1　点估计530

2.1.1　矩估计法532

2.1.2　极大似然估计法536

§2.2　估计量的评选标准542

2.2.1　无偏估计543

2.2.2　有效估计和最小方差估计546

2.2.3　相合估计与渐近正态性556

§2.3　区间估计558

习题2575

第三章　假设检验578

§3.1　假设检验的基本概念578

§3.2　正态总体下参数的假设检验582

§3.3　非正态总体大样本参数检验595

§3.4　检验的优劣598

3.4.1　功效函数599

3.4.2　最大功效检验605

§3.5　分布假设检验609

3.5.1　X2拟合优度检验609

3.5.2　Колмогоров检验和Смирнов检验616

3.5.3　独立性检验621

习题3625

第四章　线性统计推断630

§4.1　线性统计模型631

§4.2　最小二乘估计及其性质634

§4.3　线性模型的假设检验和统计推断647

4.3.1　线性模型的假设检验648

4.3.2 回归系数的假设检验650

4.3.3　统计推断655

§4.4　方差分析657

4.4.1　单因子方差分析661

4.4.2　双因子方差分析666

§4.5　正交试验设计及其应用675

习题4692

参考书目696

附表697