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第一篇 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1 命题4

1.1.1 命题的概念4

1.1.2 命题的分类5

1.2 联结词5

1.2.1 否定联结词6

1.2.2 合取联结词6

1.2.3 析取联结词7

1.2.4 条件联结词8

1.2.5 双条件联结词9

1.3 命题公式与翻译10

1.3.1 命题公式的定义10

1.3.2 真值表11

1.3.3 命题的翻译12

1.4 命题公式的等价、蕴涵13

1.4.1 重言式和矛盾式13

1.4.2 命题公式的等价关系14

1.4.3 置换16

1.4.4 命题公式的蕴涵关系17

1.5 对偶与范式19

1.5.1 对偶式19

1.5.2 析取范式与合取范式21

1.5.3 主析取范式21

1.5.4 主合取范式23

1.6 其他联结词25

1.6.1 不可兼析取联结词26

1.6.2 条件否定联结词27

1.6.3 与非联结词28

1.6.4 或非联结词28

1.6.5 联结词之间的关系29

1.7 命题演算推理29

1.7.1 有效论证的概念29

1.7.2 真值表法30

1.7.3 直接证法32

1.7.4 间接证法34

1.8 应用36

1.9 典型例题解析40

本章小结45

习题45

2.1.1 谓词的概念52

2.1 谓词和量词52

第2章 谓词逻辑52

2.1.2 全称量词和存在量词54

2.2 谓词公式与翻译56

2.2.1 谓词公式的定义56

2.2.2 谓词公式的翻译56

2.3 约束变元与自由变元57

2.4 谓词公式的等价、蕴涵59

2.4.1 一些基本概念59

2.4.2 量词与联结词？之间的关系59

2.4.3 量词辖域的扩张与收缩60

2.4.4 量词与命题联结词之间的一些等价、蕴涵式60

2.5 前缀范式63

2.5.1 前缀范式的定义63

2.6.1 四个基本的推理规则64

2.6 谓词演算推理64

2.5.2 前缀合取范式和前缀析取范式64

2.6.2 推理规则的应用66

2.7 应用67

2.8 典型例题解析70

本章小结72

习题72

第二篇 集合论83

第3章 集合及其运算83

3.1 集合的概念与性质84

3.1.1 集合的概念84

3.1.2 集合的表示85

3.1.3 三个基本原理86

3.1.4 集合的性质87

3.2.1 Venn图89

3.1.5 幂集89

3.2 集合的运算89

3.2.2 集合的运算90

3.2.3 集合的运算性质93

3.3 序偶和笛卡尔积94

3.3.1 序偶94

3.3.2 笛卡尔积94

3.4 数学归纳法96

3.4.1 集合的归纳定义96

3.4.2 自然数的集合论定义97

3.4.3 数学归纳法98

3.5 典型例题解析99

本章小结101

习题102

第4章 关系106

4.1 关系的概念及性质107

4.1.1 关系的概念107

4.1.2 关系的表示方法107

4.1.3 关系的性质109

4.2 关系的运算110

4.2.1 复合运算111

4.2.2 逆运算114

4.2.3 闭包运算115

4.3 等价关系、等价类与划分120

4.4 相容关系、相容类与覆盖124

4.5 偏序关系127

4.6 典型例题解析131

本章小结136

习题137

第5章 函数141

5.1 函数的概念141

5.2 函数的分类143

5.2.1 满射、单射和双射143

5.2.2 合成映射、恒等映射及逆映射144

5.3 特征函数149

5.4 典型例题解析152

本章小结153

习题154

第6章 基数157

6.1 基本概念157

6.1.1 等势157

6.1.3 基数158

6.1.2 有限集和无限集158

6.2 可数集和不可数集159

6.2.1 基本概念159

6.2.2 连续统的势161

6.2.3 无限集的性质162

6.3 基数的比较163

6.3.1 基数的比较163

6.3.2 基数的性质165

6.4 典型例题解析168

本章小结169

习题169

第7章 集合论的发展与应用172

7.1 计数原理172

7.1.1 计数的基础172

7.1.2 容斥原理174

7.1.3 鸽笼原理177

7.1.4 重集179

7.2 模糊集基础180

7.2.1 发展简介180

7.2.2 模糊集合的概念与方法181

7.2.3 模糊理论的其他应用190

7.3 集合的应用193

7.3.1 关系在信息模型设计中的应用193

7.3.2 关系数据库193

本章小结197

习题197

第三篇 代数结构201

第8章 群201

8.1.1 运算202

8.1 代数系统的基本概念202

8.1.2 代数系统、子代数与积代数204

8.2 半群与独异点206

8.3 群207

8.3.1 群207

8.3.2 群的性质208

8.4 子群209

8.4.1 子群的定义209

8.4.2 子群的判别条件209

8.5 阿贝尔群与循环群210

8.5.1 阿贝尔群210

8.5.2 循环群211

8.6.1 置换的定义213

8.6 置换群213

8.6.2 置换群214

8.7 拉格朗日定理216

8.8 同态及同构219

8.8.1 同态映射219

8.8.2 同构映射220

8.8.3 同态核221

8.9 典型例题解析223

本章小结226

习题226

第9章 格与布尔代数228

9.1 格229

9.1.1 格的定义229

9.1.2 格的性质232

9.1.3 格的同态与同构235

9.1.4 几种特殊的格238

9.2 布尔代数244

9.2.1 布尔代数的定义244

9.2.2 布尔代数的性质245

9.2.3 亨廷顿（Huntington）公理246

9.2.4 有限布尔代数248

9.2.5 布尔表达式与布尔函数252

9.2.6 布尔代数的同态与同构253

9.3 应用255

9.3.1 开关电路函数255

9.3.2 全加器的逻辑设计256

9.4 典型例题解析257

习题265

本章小结265

第四篇 图论269

第10章 图269

10.1 图模型270

10.2 图的分类275

10.3 图的连通性278

10.4 图的矩阵表示283

10.5 典型例题解析290

本章小结294

习题295

第11章 特殊图297

11.1 欧拉图与Hamilton图297

11.1.1 欧拉图297

11.1.2 Hamilton图299

11.1.3 应用举例303

11.2 二分图与匹配304

11.2.1 二分图的基本概念305

11.2.2 匹配306

11.2.3 分配问题308

11.3 平面图、对偶图与地图着色309

11.3.1 平面图309

11.3.2 对偶图与地图着色313

11.4 网络及最大流问题316

11.5 典型例题解析319

本章小结325

习题325

第12章 树329

12.1 树的概念329

12.2 生成树331

12.3 根树、二叉树及其应用335

12.3.1 根树335

12.3.2 二叉树及其遍历336

12.3.3 应用举例340

12.4 典型例题解析343

本章小结346

习题346

第13章 超图概述348

13.1 基本概念348

13.2 超图的链和圈349

13.3 E-C-R性质和Helly性质350

本章小结351

参考文献352