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1 导言1

1.1 问题的由来1

1.2 曲面论扼要3

1.3 Debreu定理评述15

1.4 内容提要18

2 Rm空间上曲线、曲面的标架与基本形式25

2.1 2维平面局部坐标系上曲线的相对曲率25

2.2 Rm空间上曲面的法截曲线与法截曲率32

2.2.1 一般曲面函数决定的法截曲线与曲率32

2.2.2 Rm空间上曲线的曲率38

2.2.3 Meusnier定理44

2.3 Rm空间上的曲线及其（局部）标架53

2.3.1 曲线的Frenet标架及其手性53

2.3.2 曲线Frenet标架的极值意义68

2.4 曲面第一、第二基本形式在Rm空间上的表示76

2.4.1 Rm空间上向量的多重矢量积77

2.4.2 正则参数曲面片决定的第一、第二基本形式86

2.4.3 Rm空间上的m—1维曲面的Gauss-Codazzi方程与Gauss曲率定理94

附注1：Ritjk、R？j符号的变换关系104

附注2：Gauss曲率绝对值的几何意义107

2.4.4 多重矢量积（续）及Rm空间上n维曲面的Gauss-Codazzi方程108

附注1：多重矢量积中的变换与标架系的手性195

附注2：Rm空间上的n维曲面的极值主法方向在基变换下的不变性197

附注3：可积性条件方程组对于n维曲面刚体运动的不变性199

附注4：Rm空间的n维曲面的基本定理200

2.4.5 其他形式的曲面函数决定的第一、第二基本形式206

2.4.6 附录：一般曲面函数的切超平面方程基础解系矩阵的可积性条件230

3 加边实对称矩阵的拟特征值及拟特征向量234

3.1 曲面的主法曲率与拟特征值234

3.1.1 曲面的主法曲率与拟特征值——Debreu定理的证明234

3.1.2 多重约束下的拟特征值、拟特征向量270

3.1.3 附录：极小曲面290

3.2 加边对称矩阵及其拟特征值（向量）的若干性质294

3.2.1 矩阵A与加边矩阵Ab的秩294

3.2.2 特征多项式与拟特征多项式299

3.2.3 多重加边矩阵的拟特征多项式310

3.2.4 加边矩阵Ab的拟特征值与矩阵A的特征值的关系——隔离定理322

3.2.5 拟特征向量、主法曲率及其可微性353

3.2.6 加边正定矩阵拟特征值的积分特性367

3.3 拟特征值（向量）与曲面上的特殊曲线371

3.3.1 曲面上的（一般）曲线与曲率线371

3.3.2 曲面上曲线的测地标架——Darboux标架380

附注：Rm空间的m—1维曲面上的曲线测地曲率的Liouville公式406

3.3.3 一般曲面函数决定的测地线方程411

3.3.4 附录：线性方向线424

3.4 拟特征向量与主法曲率——Dupin标形与渐近线433

3.4.1 Rm空间上曲面的Dupin标形433

3.4.2 渐近线449

附录：曲面上一点邻域处的几何性状456

4 曲率张量462

4.1 Riemann截面曲率462

4.1.1 常曲率曲面469

4.2 Ricci曲率张量及Einstein空间482

4.3 真空Einstein方程的解——几何构造499

4.3.1 真空Einstein方程几何解的类型及Rm空间上的秩1解、Cm空间上的幂零解499

4.3.2 实度规的幂零解构造及解析解示例527

4.4 真空Einstein方程复幂零解曲面对应实曲面的性质544

4.5 极小曲面（续）553

5 闭凸锥的构造——线性不等式方程组的解556

5.1 引论556

5.1.1 线性不等式方程组简述556

5.1.2 多胞形表示定理558

5.2 逆矩阵的几何构造572

5.3 R？象限中的闭锥——？方程组的解582

5.3.1 cTx≥0 x≥0（单个）方程的解584

5.3.2 ？≥0方程组的解588

5.3.3 解的存在性条件608

5.4 R？象限中的闭集——？方程组的解616

5.4.1 ？≥b方程组的解616

5.4.2 解的存在性条件634

5.5 Ax≥0齐次线性不等式方程组的解637

5.5.1 Ax≥0方程组的解637

5.5.2 A＋广义逆矩阵的几何构造及算法简化647

5.5.3 行线性相关与解约束方程组662

5.5.4 值域R（Ax≥0）的构造及闭锥的表示定理676

5.6 Ax≥b方程组的解695

5.6.1 Ax≥b方程组的解法695

5.6.2 值域R（Ax≥b）的构造702

5.7 更复杂的情形及线性规划的直接解法706

5.8 正法锥与反演问题724

5.8.1 正法锥724

5.8.2 反演问题739

5.9 凸组合基向量组的唯一性744

5.10 附录：Farkas引理的说明753

6 Kuhn-Tucker条件解析——非线性规划中的多重约束Hessian矩阵760

6.1 Kuhn-Tucker条件的描述760

6.2 Lagrange乘子的解空间——非线性规划的核771

6.2.1 Lagrange乘子的解空间771

6.2.2 非线性规划的核783

6.3 线性化锥、闭切锥、正法锥——一阶约束品性795

6.3.1 一阶约束品性与闭切锥引理795

6.3.2 闭切锥的构造——一阶约束品性不成立的情形798

6.3.3 局部极小值点x0是约束曲面上的拐点、鞍点——线性化锥与闭切锥不等的条件817

6.4 局部极小值点的可微曲线边界——二阶约束品性835

6.4.1 二阶约束品性（A）,Z1(x0)、？1（x0）与？1（x0）集合的相互关系835

6.4.2 ？1（x0）集合的几何意义——二阶约束品性（Ⅰ）848

6.4.3 ？1（x0）集合的几何意义——二阶约束品性（Ⅱ）871

6.5 Kuhn-Tucker条件解析885

6.5.1 局部极小值点处的几何最优性条件及其描述885

6.5.2 局部极小值点的最优性条件898

6.5.3 多重约束的Lagrange函数Hessian矩阵有定性的判别925

6.5.4 约束二次型xTAx Bx≥0（半）正定的判别条件949

6.5.5 非线性规划（全局）解的算法——二次规划、几何规划的直接解968

6.6 附录：其他问题1022

后记1037

（英文目录及内容提要）1038