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第一章 函数 极限 连续1

1 函数1

Ⅰ 考点精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

Ⅱ 例题精讲4

一、求分段函数的复合函数4

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数6

三、求反函数的表达式7

四、关于函数有界（无界）的讨论7

2 极限9

Ⅰ 考点精讲9

一、定义9

二、重要性质、定理、公式10

三、计算极限的一些有关方法11

Ⅱ 例题精讲14

一、求函数的极限14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限19

三、含有|x|，e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限21

四、无穷小的比较22

五、求以极限定义的函数的表达式23

六、极限运算定理的正确运用24

3 函数的连续与间断27

Ⅰ 考点精讲27

一、定义27

二、重要性质、定理、公式28

Ⅱ 例题精讲28

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断28

二、在连续条件下求参数30

三、连续函数的零点问题31

模考题训练32

模考题训练答案与提示34

第二章 一元函数微分学37

1 导数与微分，导数的计算37

Ⅰ 考点精讲37

一、定义37

二、重要性质、定理、公式38

Ⅱ 例题精讲41

一、按定义求一点处的导数41

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数42

三、绝对值函数的导数46

四、由极限式表示的函数的可导性47

五、导数与微分、增量的关系48

六、求导数的计算题48

2 导数的应用50

Ⅰ 考点精讲50

一、定义50

二、重要性质、定理、公式与方法51

Ⅱ 例题精讲53

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论53

二、渐近线56

三、最大值、最小值问题57

3 中值定理、不等式与零点问题58

Ⅰ 考点精讲58

一、重要定理58

二、重要方法59

Ⅱ 例题精讲61

一、不等式的证明61

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题64

三、复合函数Ψ（x，f（x），f′（x））的零点67

四、复合函数Ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点68

五、“双中值”问题68

六、零点的个数问题69

七、证明存在某ξ满足某不等式70

八、limf′（x）与f′（x0）的关系71

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系72

模考题训练73

模考题训练答案与提示76

第三章 一元函数积分学79

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论79

Ⅰ 考点精讲79

一、定义79

二、重要性质、定理、公式80

Ⅱ 例题精讲82

一、分段函数的不定积分与定积分82

二、定积分与原函数的存在性85

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分85

2 不定积分与定积分的计算88

Ⅰ 考点精讲8

一、基本积分公式88

二、基本积分方法89

Ⅱ 例题精讲91

一、简单有理分式的积分91

二、三角函数的有理分式的积分93

三、简单无理式的积分93

四、两种不同类型的函数相乘的积分95

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分97

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分98

七、含参变量带绝对值号的定积分100

3 反常积分及其计算101

Ⅰ 考点精讲101

一、定义101

二、重要性质、定理、公式102

Ⅱ 例题精讲103

一、反常积分的计算103

二、关于奇、偶函数的反常积分105

三、关于反常积分敛散性的判定106

4 一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用108

Ⅰ 考点精讲108

一、定义108

二、重要性质、定理、公式与方法109

Ⅱ 例题精讲111

一、几何应用111

二、经济上的应用113

5 定积分的证明题117

Ⅰ 考点精讲117

Ⅱ 例题精讲117

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等117

二、由积分定义的函数求极限119

三、积分不等式的证明121

四、零点问题124

模考题训练126

模考题训练答案与提示130

第四章 多元函数微积分学133

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分133

Ⅰ 考点精讲133

一、定义133

二、重要性质、定理、公式136

Ⅱ 例题精讲137

一、讨论二重极限137

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性138

三、讨论函数的可微性139

四、求初等函数的偏导数140

五、抽象函数时的复合函数求偏导数（重点）140

六、求隐函数的偏导数143

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数145

2 极值与最值146

Ⅰ 考点精讲146

一、定义146

二、重要性质、定理、公式146

Ⅱ 例题精讲148

一、关于抽象函数的极值问题148

二、极值与最值的计算题149

三、最值的应用问题150

3 二重积分151

Ⅰ 考点精讲151

一、定义151

二、重要性质、定理、公式151

Ⅱ 例题精讲152

一、二重积分在直角坐标中的计算152

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容）153

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化155

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点）156

五、关于轮换对称的二重积分158

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算159

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明）162

模考题训练164

模考题训练答案与提示167

第五章 无穷级数169

1 数项级数169

Ⅰ 考点精讲169

一、定义169

二、重要性质、定理、公式170

Ⅱ 例题精讲173

一、正项级数敛散性的判别173

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛177

三、敛散性判别法的选择题179

2 幂级数183

Ⅰ 考点精讲183

一、定义183

二、重要性质、定理、公式184

Ⅱ 例题精讲188

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题188

二、函数展开成幂级数191

三、简单幂级数？an xn0求和194

四、幂级数与微分方程有关的题196

五、利用幂级数求某些数项级数的和198

六、幂级数在经济上的应用199

模考题训练201

模考题训练答案与提示204

第六章 微分方程，差分及一阶差分方程207

1 微分方程的概念，三种一阶方程的解法207

Ⅰ 考点精讲207

一、定义207

二、三种特殊类型的一阶微分方程及其解法208

Ⅱ 例题精讲209

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）209

二、积分方程化为微分方程求解211

三、偏微分方程化为常微分方程求解214

四、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解215

2 二阶线性微分方程216

Ⅰ 考点精讲216

一、定义216

二、重要性质、定理、公式216

Ⅱ 例题精讲217

一、识别类型，对号入座，按类型求解217

二、自由项含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解220

三、写出常系数线性非齐次方程的特解形式220

四、已知方程的解求方程221

五、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系222

3 微分方程的应用223

Ⅰ 考点精讲223

一、几何问题223

二、微元法建立微分方程225

4 差分及一阶差分方程225

Ⅰ 考点精讲225

一、定义225

二、重要性质、定理、公式226

Ⅱ 例题精讲227

一、差分的计算227

二、求一阶差分方程的解228

三、差分方程在经济上的应用229

模考题训练230

模考题训练答案与提示232

第一章 行列式233

1 n阶行列式的定义233

Ⅰ 考点精讲233

一、定义233

Ⅱ 例题精讲234

2 行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算236

Ⅰ 考点精讲236

一、定义236

二、重要定理237

三、行列式的性质237

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论238

Ⅱ 例题精讲238

一、低阶行列式的计算238

二、行列式计算技巧介绍241

三、行列式表示的函数、方程247

四、关于余子式和代数余子式250

五、抽象矩阵的行列式252

六、行列式的证明题253

3 克莱姆法则254

Ⅰ 考点精讲254

例题精讲255

模考题训练257

模考题训练答案与提示259

第二章 矩阵261

1 矩阵的概念及基本运算261

Ⅰ 考点精讲261

一、定义261

二、矩阵的运算规则262

三、特殊矩阵263

Ⅱ 例题精讲263

一、方阵的幂263

二、矩阵乘法的可交换性268

三、对称阵和反对称阵270

2 矩阵的逆271

Ⅰ 考点精讲271

一、定义271

二、重要定理272

三、运算性质272

四、求逆矩阵的方法272

Ⅱ 例题精讲273

一、证明A可逆及求A-1的方法273

二、伴随矩阵277

三、矩阵方程280

3 初等变换与初等矩阵282

Ⅰ 考点精讲282

一、定义282

二、初等矩阵与初等变换的性质283

Ⅱ 例题精讲284

一、初等变换、初等矩阵284

二、矩阵的秩和等价矩阵286

4 分块矩阵288

Ⅰ 考点精讲288

一、定义288

二、分块矩阵的运算289

Ⅱ 例题精讲290

一、分块矩阵的乘积290

二、分块矩阵的逆292

三、分块矩阵的行列式294

模考题训练294

模考题训练答案与提示296

第三章 向量299

1 向量组的线性相关性299

Ⅰ 考点精讲299

一、定义299

二、重要定理300

三、向量的基本运算301

Ⅱ 例题精讲301

一、线性相关性的判别301

二、向量的线性表示304

三、向量组线性无关的证明306

2 秩309

Ⅰ 考点精讲309

一、定义309

二、重要定理309

三、有关秩的等式和不等式310

Ⅱ 例题精讲311

3 向量的内容与向量组的正交规范化方法316

Ⅰ 考点精讲316

一、定义316

二、运算性质316

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法317

Ⅱ 例题精讲317

模考题训练319

模考题训练答案与提示321

第四章 线性方程组323

1 齐次线性方程组323

Ⅰ 考点精讲323

一、定义323

二、重要定理324

三、基础解系和通解的求法324

Ⅱ 例题精讲325

一、线性方程组的求解325

二、方程组解向量的判别，解的性质329

三、基础解系330

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A332

2 非齐次线性方程组335

Ⅰ 考点精讲335

一、定义335

二、重要定理336

三、非齐次线性方程组AX＝b通解的求法336

Ⅱ 例题精讲337

一、非齐次线性方程组的求解337

二、非齐次线性方程组解的判别339

三、非齐次线性方程组有解的条件340

四、AX＝b的通解结构341

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系343

六、两个方程组的公共解344

七、同解方程组346

模考题训练349

模考题训练答案与提示351

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵353

1 特征值、特征向量353

Ⅰ 考点精讲353

一、定义353

二、特征值的性质353

三、求特征值、特征向量的方法354

Ⅱ 例题精讲354

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化362

Ⅰ 考点精讲362

一、定义362

二、重要定理362

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件363

Ⅱ 例题精讲363

3 实对称矩阵的相似对角化370

Ⅰ 考点精讲370

一、定义370

二、重要定理370

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤370

Ⅱ 例题精讲371

模考题训练380

模考题训练答案与提示382

第六章 二次型385

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵385

Ⅰ 考点精讲385

一、定义385

二、二次型的矩阵表示386

Ⅱ 例题精讲387

2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型389

Ⅰ 考点精讲389

一、定义389

二、重要定理389

三、二次型化标准形、规范形的方法390

Ⅱ 例题精讲390

3 正定二次型、正定矩阵401

Ⅰ 考点精讲401

一、定义401

二、重要定理402

Ⅱ 例题精讲402

模考题训练411

模考题训练答案与提示413

第一章 随机事件和概率415

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算415

Ⅰ 考点精讲415

一、定义415

二、事件间运算规律417

Ⅱ 例题精讲418

2 概率、条件概率、独立性和五大公式419

Ⅰ 考点精讲419

一、定义419

二、重要性质、定理、公式420

Ⅱ 例题精讲422

3 古典型概率与伯努利概率426

Ⅰ 考点精讲426

一、定义426

二、古典型概率与伯努利概率计算426

Ⅱ 例题精讲427

模考题训练429

模考题训练答案与提示431

第二章 随机变量及其概率分布433

1 随机变量及其分布函数433

Ⅰ 考点精讲433

一、定义433

二、分布函数性质433

Ⅱ 例题精讲434

2 离散型随机变量和连续型随机变量435

Ⅰ 考点精讲435

一、定义435

二、分布律和概率密度的性质435

Ⅱ 例题精讲435

3 常用分布438

Ⅰ 考点精讲438

一、定义438

二、重要性质440

Ⅱ 例题精讲441

4 随机变量函数的分布443

Ⅰ 考点精讲443

一、离散型随机变量的函数分布443

二、连续型随机变量的函数分布443

Ⅱ 例题精讲444

模考题训练445

模考题训练答案与提示447

第三章 多维随机变量及其分布449

1 二维随机变量及其分布449

Ⅰ 考点精讲449

一、定义449

二、重要性质453

Ⅱ 例题精讲454

2 随机变量的独立性456

Ⅰ 考点精讲456

一、定义（随机变量的独立性）456

二、充要条件457

Ⅱ 例题精讲459

3 二维均匀分布和二维正态分布461

Ⅰ 考点精讲461

一、定义461

二、重要性质463

Ⅱ 例题精讲463

4 两个随机变量函数的分布465

Ⅰ 考点精讲465

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似465

二、二维连续型随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布的求法，可用公式465

三、重要性质465

Ⅱ 例题精讲466

模考题训练467

模考题训练答案与提示469

第四章 随机变量的数字特征471

1 随机变量的数学期望和方差471

Ⅰ 考点精讲471

一、定义471

二、重要性质，公式472

Ⅱ 例题精讲477

2 矩、协方差和相关系数480

Ⅰ 考点精讲480

一、定义480

二、重要性质、公式481

Ⅱ 例题精讲482

3 切比雪夫不等式485

Ⅰ 考点精讲485

Ⅱ 例题精讲485

模考题训练485

模考题训练答案与提示488

第五章 大数定律和中心极限定理489

Ⅰ 考点精讲489

一、依概率收敛489

二、切比雪夫大数定律489

三、伯努利大数定律489

四、辛钦大数定律489

五、棣莫弗——拉普拉斯定理490

六、列维——林德伯格定理490

Ⅱ 例题精讲490

模考题训练492

模考题训练答案与提示493

第六章 数理统计的基本概念495

1 总体、样本、统计量和样本数字特征495

Ⅰ 考点精讲495

一、定义495

二、样本数字特征性质497

Ⅱ 例题精讲497

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布498

Ⅰ 考点精讲498

一、定义498

二、重要性质499

三、一个正态总体的抽样分布501

四、两个正态总体的抽样分布501

Ⅱ 例题精讲502

模考题训练504

模考题训练答案与提示506

第七章 参数估计509

1 点估计509

Ⅰ 考点精讲509

Ⅱ 例题精讲510

2 估计量的求法和区间估计512

Ⅰ 考点精讲512

一、矩估计法512

二、矩估计法步骤512

三、最大似然估计法512

四、似然方程513

五、区间估计513

Ⅱ 例题精讲515

模考题训练517

模考题训练答案与提示520

第八章 假设检验523

Ⅰ 考点精讲523

一、实际推断原理523

二、假设检验523

三、两类错误523

四、显著性检验524

五、正态总体参数的假设检验524

Ⅱ 例题精讲525

模考题训练528

模考题训练答案与提示530