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第一篇 微积分3

第1章 函数3

1.1 函数的概念3

1.1.1 函数的定义3

1.1.2 函数的定义域3

1.1.3 函数值4

1.1.4 函数的表示方法5

习题1.16

1.2 函数的特性6

1.2.1 函数的有界性6

1.2.2 函数的奇偶性7

1.2.3 函数的单调性7

1.2.4 函数的周期性8

习题1.28

1.3 初等函数9

1.3.1 基本初等函数9

1.3.2 复合函数11

1.3.3 初等函数12

习题1.312

本章小结13

总习题113

第2章 极限与连续16

2.1 数列的极限16

2.1.1 数列的定义16

2.1.2 数列极限的定义16

2.1.3 数列极限的性质17

习题2.117

2.2 函数的极限18

2.2.1 x→∞时函数的极限18

2.2.2 x→x0时函数的极限18

习题2.220

2.3 极限的运算法则21

2.3.1 极限的四则运算21

习题2.323

2.4 两个重要极限24

2.4.1 极限存在准则24

2.4.2 两个重要极限24

习题2.426

2.5 无穷小与无穷大27

2.5.1 无穷小27

2.5.2 无穷小的性质28

2.5.3 无穷小的比较28

2.5.4 等价无穷小29

2.5.5 无穷大29

习题2.530

2.6 函数的连续性31

2.6.1 函数的连续性31

2.6.2 函数的间断点及其分类32

2.6.3 连续函数的运算与初等函数的连续性33

2.6.4 闭区间上连续函数的性质34

习题2.635

本章小结36

总习题237

第3章 导数与微分40

3.1 导数的概念40

3.1.1 导数概念的引入40

3.1.2 导数的定义41

3.1.3 导数的几何意义42

3.1.4 可导与连续的关系42

习题3.143

3.2 导数的运算法则44

3.2.1 导数的四则运算44

3.2.2 反函数的导数45

3.2.3 复合函数的导数46

3.2.4 隐函数的导数47

3.2.5 导数的基本公式48

3.2.6 高阶导数48

习题3.249

3.3 微分50

3.3.1 微分概念的引例50

3.3.2 微分的定义50

3.3.3 微分的几何意义51

3.3.4 微分的基本公式51

习题3.352

本章小结53

总习题354

第4章 中值定理及导数的应用57

4.1 中值定理57

4.1.1 费马定理57

4.1.2 罗尔定理57

4.1.3 拉格朗日中值定理58

4.1.4 柯西中值定理59

习题4.159

4.2 洛必达法则60

4.2.1 0/0型和∞/∞型未定式60

4.2.2 其他类型的未定式61

习题4.262

4.3 函数的单调性与极值62

4.3.1 函数的单调性62

4.3.2 函数的极值64

4.3.3 函数的最值66

习题4.366

4.4 函数的凹凸性与微分法作图67

本章小结69

总习题470

第5章 不定积分73

5.1 不定积分的概念与性质73

5.1.1 原函数73

5.1.2 不定积分73

5.1.3 不定积分的几何意义74

5.1.4 微分与不定积分的关系74

5.1.5 基本积分公式75

5.1.6 不定积分的性质75

习题5.176

5.2 换元积分法77

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法）77

5.2.2 第二类换元积分法79

习题5.281

5.3 分部积分法82

习题5.383

5.4 有理函数和三角函数有理式的不定积分84

5.4.1 有理函数的不定积分84

5.4.2 三角函数有理式的不定积分86

本章小结87

总习题589

第6章 定积分91

6.1 定积分的概念及性质91

6.1.1 定积分概念的引例91

6.1.2 定积分的概念92

6.1.3 定积分的几何意义93

6.1.4 定积分的性质94

习题6.195

6.2 微积分基本定理95

6.2.1 积分上限函数及其导数95

6.2.2 微积分基本定理96

习题6.297

6.3 定积分的换元法与分部积分法98

6.3.1 定积分的换元法98

6.3.2 定积分的分部积分法98

习题6.399

6.4 定积分的应用99

6.4.1 定积分的微元法99

6.4.2 平面图形的面积100

6.4.3 旋转体的体积101

6.4.4 定积分经济应用举例102

习题6.4103

6.5 广义积分104

6.5.1 无限区间上的广义积分104

6.5.2 无界函数的广义积分105

习题6.5107

本章小结108

总习题6109

第7章 微分方程116

7.1 微分方程的基本概念116

7.1.1 微分方程概念的引例116

7.1.2 微分方程的基本概念117

习题7.1117

7.2 一阶微分方程118

7.2.1 已分离变量的微分方程118

7.2.2 可分离变量的微分方程118

7.2.3 齐次方程119

7.2.4 一阶线性微分方程120

习题7.2121

7.3 可降阶的微分方程122

7.3.1 y″=f（x）型的微分方程122

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程122

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程123

习题7.3123

7.4 二阶常系数齐次线性微分方程124

7.4.1 二阶常系数线性微分方程的定义124

7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构124

7.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法124

习题7.4126

7.5 二阶常系数非齐次线性微分方程126

7.5.1 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构126

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法126

习题7.5128

7.6 差分及差分方程概念128

7.6.1 差分的概念128

7.6.2 差分方程的概念129

习题7.6129

7.7 一阶常系数线性差分方程130

7.7.1 一阶常系数齐次线性差分方程的解法130

7.7.2 一阶常系数非齐次线性差分方程的解法130

习题7.7132

7.8 二阶常系数线性差分方程132

7.8.1 二阶常系数齐次线性差分方程的解法132

7.8.2 二阶常系数非齐次线性差分方程的解法134

习题7.8135

本章小结135

总习题7138

第1～7章 模拟试卷（一）141

第1～7章 模拟试卷（二）142

第1～7章 模拟试卷（三）143

第8章 无穷级数146

8.1 无穷级数的概念和性质146

8.1.1 无穷级数的概念146

8.1.2 无穷级数的性质148

习题8.1149

8.2 常数项级数判别法150

8.2.1 正项级数及其判别法150

8.2.2 交错级数及其判别法152

8.2.3 绝对收敛与条件收敛153

习题8.2154

8.3 幂级数155

8.3.1 幂级数的概念155

8.3.2 幂级数的收敛半径和收敛域156

8.3.3 幂级数的性质158

习题8.3159

8.4 函数展开成幂级数160

8.4.1 泰勒级数160

8.4.2 间接展开法162

习题8.4163

本章小结163

总习题8165

第9章 多元函数微积分169

9.1 多元函数169

9.1.1 空间直角坐标系169

9.1.2 多元函数171

习题9.1172

9.2 二元函数的极限与连续172

9.2.1 二元函数的极限172

9.2.2 二元函数连续性173

习题9.2173

9.3 偏导数与全微分173

9.3.1 偏导数的概念173

9.3.2 高阶偏导数174

9.3.3 全微分175

习题9.3176

9.4 复合函数与隐函数微分法177

9.4.1 复合函数微分法177

9.4.2 隐函数微分法179

习题9.4180

9.5 二元函数的极值181

9.5.1 二元函数的极值181

9.5.2 极值存在的条件181

9.5.3 条件极值182

习题9.5183

9.6 二重积分183

9.6.1 二重积分的概念184

9.6.2 二重积分的基本性质185

9.6.3 直角坐标系下计算二重积分186

9.6.4 利用极坐标计算二重积分189

习题9.6190

本章小结192

总习题9193

第8～9章 模拟试卷（一）197

第8～9章 模拟试卷（二）198

第8～9章 模拟试卷（三）199

习题答案202

第二篇 线性代数229

第1章 行列式229

1.1 n阶行列式229

1.1.1 全排列及其逆序数229

1.1.2 n阶行列式的定义230

1.1.3 对换236

习题1.1237

1.2 行列式的性质238

习题1.2244

1.3 行列式按行（列）展开245

习题1.3252

1.4 克拉默法则253

习题1.4256

第2章 矩阵257

2.1 矩阵概念及其运算257

2.1.1 矩阵的概念257

2.1.2 矩阵的运算260

习题2.1265

2.2 逆矩阵266

2.2.1 逆矩阵的概念266

2.2.2 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系268

2.2.3 矩阵方程272

2.2.4 矩阵多项式及其运算274

习题2.2275

2.3 分块矩阵276

习题2.3284

2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵285

2.4.1 初等变换与初等矩阵285

2.4.2 利用初等变换求逆矩阵293

2.4.3 用初等变换法求解矩阵方程AX=B295

2.4.4 矩阵行列式两个性质的证明297

习题2.4298

2.5 矩阵的秩299

习题2.5305

第3章 线性方程组307

3.1 线性方程组的求解——消元法307

习题3.1315

3.2 向量组及其线性组合315

3.2.1 向量及其线性运算315

3.2.2 向量组的线性组合318

3.2.3 向量组间的线性表示319

习题3.2320

3.3 向量组的线性相关性321

3.3.1 线性相关性的概念321

3.3.2 线性相关性的判定322

习题3.3326

3.4 向量组的秩326

3.4.1 向量组的秩的概念327

3.4.2 矩阵与向量组秩的关系327

习题3.4334

3.5 向量空间335

3.5.1 向量空间及子空间概念335

3.5.2 Rn中的基变换和坐标变换335

习题3.5341

3.6 线性方程组解的结构341

3.6.1 齐次线性方程组解的结构341

3.6.2 非齐次线性方程组解的结构348

习题3.6352

第4章 相似矩阵353

4.1 向量的内积、长度及正交性353

习题4.1357

4.2 特征值与特征向量357

习题4.2361

4.3 矩阵相似对角化362

4.3.1 相似矩阵362

4.3.2 实对称矩阵的对角化365

习题4.3369

第5章 二次型371

5.1 二次型及其矩阵表示371

5.1.1 二次型371

5.1.2 线性变换374

5.1.3 合同矩阵的性质374

习题5.1374

5.2 化二次型为标准形375

5.2.1 二次型的标准形375

5.2.2 用正交变换化二次型为标准形376

5.2.3 用配方法化二次型为标准形379

5.2.4 用初等变换化二次型为标准形382

习题5.2384

5.3 二次型的正定性384

习题5.3388

习题答案389

第三篇 概率论399

第1章 随机事件与概率399

1.1 随机事件399

1.1.1 随机现象与随机事件399

1.1.2 事件间的关系与运算399

1.2 随机事件的概率402

1.2.1 古典概型402

1.2.2 概率的加法公式403

1.2.3 概率的乘法公式404

1.3 事件的独立性 贝努里概型406

1.3.1 相互独立事件同时发生的概率406

1.3.2 贝努里概型407

1.4 全概率公式和贝叶斯公式408

1.4.1 全概率公式408

1.4.2 贝叶斯公式410

1.5 几何概率411

习题1413

第2章 随机变量及其分布415

2.1 离散型随机变量与直方图415

2.1.1 离散型随机变量415

2.1.2 常见离散型随机变量分布416

2.2 连续型随机变量与正态分布418

2.2.1 连续型随机变量418

2.2.2 正态分布420

习题2424

第3章 随机变量的数字特征426

3.1 数学期望426

3.1.1 离散型随机变量426

3.1.2 连续型随机变量的数学期望428

3.1.3 数学期望的性质428

3.1.4 数学期望的应用428

3.2 方差429

3.2.1 方差的定义429

3.2.2 方差的性质431

3.2.3 常用的分布列（或概率密度）以及均值和方差431

习题3432

第4章 统计量与参数估计434

4.1 总体 样本 统计量434

4.1.1 总体和样本434

4.1.2 统计量及其分布434

4.2 点估计436

4.3 区间估计437

4.3.1 总体均值的区间估计437

4.3.2 正态总体方差的区间估计438

习题4439

复习题440

第四篇 积分变换445

第1章 傅里叶变换445

1.1 傅里叶变换的概念与性质445

1.1.1 傅里叶级数445

1.1.2 傅里叶积分446

1.1.3 傅里叶变换的概念447

1.1.4 傅里叶变换的性质448

1.2 δ函数及其傅里叶变换453

1.2.1 δ函数的概念453

1.2.2 δ函数的性质455

1.2.3 δ函数的傅里叶变换457

习题1.2459

第2章 拉普拉斯变换461

2.1 拉普拉斯变换的概念461

2.1.1 拉普拉斯变换的定义461

2.1.2 拉普拉斯逆变换463

2.2 拉普拉斯变换的性质464

2.3 拉普拉斯变换的应用470

2.3.1 求解常系数线性微分方程471

2.3.2 求解常系数线性微分方程组472

习题2.1473

附录1 傅里叶变换简表475

附录2 拉普拉斯变换简表478