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第一章 绪论1

1.1 CAGD的研究对象与核心问题1

1.2 形状数学描述的发展主线2

1.3 其他一些重要进展与趋向4

1.4 对于形状数学描述的要求7

小结10

复习思考与练习11

第二章 曲线和曲面的基本理论12

2.1 CAGD中矢量、点与直线12

2.2 曲线与曲面的参数表示15

2.3 曲线论18

2.3.1 曲线的表示18

2.3.2 曲线的导矢20

2.3.3 切触阶的概念22

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率23

2.3.5 曲线的几何特征26

2.4 曲面论28

2.4.1 曲面表示28

2.4.2 直纹面与可展曲面29

2.4.3 曲面上的曲线和曲面的度量性质30

2.4.4 曲面的曲率性质31

2.5 曲线曲面的几何不变性35

2.6 参数化与参数变换38

小结41

复习思考与练习42

第三章 参数多项式插值与逼近45

3.1 基本概念45

3.1.1 插值与逼近45

3.1.2 多项式基46

3.1.3 数据点的参数化46

3.2 多项式插值曲线50

3.3 最小二乘逼近53

3.4 弗格森参数三次曲线55

3.4.1 参数三次曲线方程56

3.4.2 参数三次曲线的几何特征58

3.4.3 三次埃尔米特插值的域变换62

3.5 张量积曲面64

3.6 曲面数据点的参数化67

3.7 参数双三次曲面片69

小结72

复习思考与练习72

第四章 参数样条曲线曲面75

4.1 参数连续性75

4.2 C1分段三次埃尔米特插值76

4.3 参数三次样条曲线78

4.3.1 参数三次样条曲线的提出78

4.3.2 三切矢方程79

4.3.3 边界条件80

4.3.4 计算插值85

4.3.5 样条曲线计算举例87

4.3.6 参数三次样条曲线的类型划分89

4.3.7 参数三次样条曲线的性质91

4.4 参数三次样条曲线的光顺性92

4.4.1 曲线光顺性准则92

4.4.2 光顺性分析94

4.4.3 光顺问题处理97

4.5 弗格森样条曲面100

4.6 孔斯双三次样条曲面102

4.7 参数双三次样条曲面104

4.7.1 参数双三次样条曲面方程104

4.7.2 求解未知偏导矢104

4.7.3 计算插值106

4.7.4 参数样条曲面的光顺性109

小结110

复习思考与练习111

第五章 贝齐尔曲线曲面114

5.1 贝齐尔曲线及其性质115

5.1.1 贝齐尔曲线方程115

5.1.2 伯恩斯坦基函数的性质116

5.1.3 贝齐尔曲线的性质118

5.2 贝齐尔曲线的线性运算120

5.2.1 贝齐尔曲线的递推定义120

5.2.2 贝齐尔曲线的导矢124

5.2.3 贝齐尔曲线的分割126

5.2.4 求点、导矢及分割的程序实现126

5.2.5 贝齐尔曲线的任意分割128

5.2.6 贝齐尔曲线的延拓129

5.3 贝齐尔曲线的升阶与降阶130

5.3.1 贝齐尔曲线的升阶130

5.3.2 贝齐尔曲线的降阶132

5.4 贝齐尔曲线计算举例133

5.5 贝齐尔曲线的矩阵形式135

5.6 计算曲线上点串的增量方法137

5.7 贝齐尔曲线的几何特征140

5.8 张量积贝齐尔曲面143

5.8.1 张量积方法143

5.8.2 德卡斯特里奥方法145

5.8.3 贝齐尔曲面的性质148

5.8.4 偏导矢与法矢148

5.8.5 退化曲面片与平移曲面150

5.8.6 分割与升阶153

5.9 贝齐尔多边形与贝齐尔网格的确定154

5.9.1 一般的贝齐尔曲线拟合155

5.9.2 特殊的贝齐尔曲线拟合156

5.9.3 一般的贝齐尔曲面拟合158

5.9.4 拟球面161

小结162

复习思考与练习163

第六章 几何连续性166

6.1 参数连续的组合贝齐尔曲线166

6.1.1 参数连续条件166

6.1.2 C1二次与C2三次样条曲线170

6.1.3 参数连续性问题初析172

6.2 参数曲线的几何连续性173

6.2.1 参数连续性问题再析与几何连续性的提出173

6.2.2 几何连续的三次插值样条曲线175

6.2.3 三次样条曲线光顺的新途径177

6.2.4 参数曲线的几何连续性定义178

6.3 几何连续的组合贝齐尔曲线183

6.3.1 两贝齐尔曲线G2连续的几何关系183

6.3.2 Gamma样条曲线186

6.3.3 组合贝齐尔曲线的G2Beta约束188

6.3.4 Beta样条曲线189

6.3.5 挠率连续的组合贝齐尔曲线190

6.4 参数曲面的几何连续性195

6.4.1 曲面的参数连续性及其问题195

6.4.2 参数曲面的几何连续性定义197

6.4.3 两贝齐尔曲面的G1连接199

6.4.4 带n面角点的贝齐尔曲面的G1连接201

6.4.5 两贝齐尔曲面的G2连接206

小结208

复习思考与练习209

第七章 B样条曲线曲面Ⅰ211

7.1 B样条与B样条曲线的基本概念211

7.1.1 B样条曲线方程及其与贝齐尔曲线的比较211

7.1.2 B样条的递推定义及其性质212

7.1.3 B样条曲线的局部性质与定义域214

7.1.4 B样条曲线的其他一些性质219

7.1.5 重节点对B样条与B样条曲线的影响220

7.2 B样条曲线的类型划分224

7.3 均匀B样条曲线227

7.4 准均匀B样条曲线230

7.5 分段贝齐尔曲线233

7.6 非均匀B样条曲线234

7.6.1 节点矢量的确定234

7.6.2 B样条基及其导数计算238

7.6.3 计算B样条曲线上点的德布尔算法239

7.6.4 德布尔算法求B样条曲线的导矢244

7.6.5 B样条曲线计算举例245

7.6.6 B样条闭曲线与开曲线的统一表示248

小结251

复习思考与练习251

第八章 B样条曲线曲面Ⅱ254

8.1 反算B样条插值曲线的控制顶点254

8.1.1 曲线反算的一般过程254

8.1.2 三次B样条插值曲线节点矢量的确定255

8.1.3 反算三次B样条插值曲线的控制顶点256

8.1.4 与参数三次样条曲线的关系260

8.2 插入节点262

8.2.1 插入一个节点262

8.2.2 重复插入同一节点264

8.2.3 进一步的结论266

8.3 B样条曲线的升阶267

8.3.1 问题所在267

8.3.2 普劳茨方法268

8.3.3 科恩-利切-舒马克方法272

8.4 B样条曲线的节点消去与降阶273

8.5 B样条曲线的分裂与组合274

8.5.1 B样条曲线的分裂275

8.5.2 B样条曲线的组合277

8.6 B样条曲线逼近279

8.6.1 最小二乘曲线逼近280

8.6.2 在规定精度内的曲线逼近283

8.7 B样条曲面及其正算284

8.7.1 B样条曲面方程及性质284

8.7.2 B样条曲面的正算285

8.8 B样条曲面的反算288

8.8.1 曲面反算的一般过程288

8.8.2 双三次B样条插值曲面的反算289

8.9 蒙面法生成曲面294

8.10 B样条曲面逼近299

小结302

复习思考与练习303

CAGD大型程序作业304

第九章 有理B样条曲线曲面Ⅰ306

9.1 NURBS方法的提出及优缺点306

9.2 三种等价的NURBS曲线方程310

9.2.1 有理分式表示310

9.2.2 有理基函数表示310

9.2.3 齐次坐标表示312

9.2.4 三种等价的NURBS曲线方程比较314

9.3 权因子对NURBS曲线形状的影响315

9.3.1 投影变换中的交比315

9.3.2 权因子的几何意义与影响317

9.4 有理一次贝齐尔曲线319

9.4.1 有理一次贝齐尔曲线方程319

9.4.2 权因子与参数化320

9.5 二次曲线弧的有理贝齐尔表示321

9.5.1 二次曲线的隐方程表示321

9.5.2 二次曲线弧的有理贝齐尔形式的导出322

9.5.3 权因子与参数化的关系324

9.5.4 有理二次贝齐尔曲线的递推定义与几何作图327

9.5.5 与权因子变换对参数化有同样影响的参数变换329

9.5.6 有理二次贝齐尔曲线的形状分类332

9.5.7 负权因子对有理二次贝齐尔曲线的影响335

9.6 反求标准型有理二次贝齐尔曲线的参数与权因子338

9.7 无限远控制顶点及其应用340

小结343

复习思考与练习343

第十章 有理B样条曲线曲面Ⅱ346

10.1 各种圆弧的二次NURBS表示346

10.1.1 对圆弧NURBS表示的要求347

10.1.2 有理二次贝齐尔曲线的插入节点348

10.1.3 90°<|θ|≤180°圆弧的二次NURBS表示350

10.1.4 整圆(|θ|=360°)的二次NURBS表示353

10.1.5 180°<|θ|≤360°圆弧的二次NURBS表示354

10.2 各种二次曲线弧的二次NURBS表示358

10.2.1 圆弧经仿射变换得到椭圆弧359

10.2.2 有理二次贝齐尔曲线的固定切向分割361

10.2.3 180°<|θ|≤360°椭圆弧的二次NURBS表示364

10.2.4 整圆与整椭圆二次NURBS的讨论367

10.3 有理三次贝齐尔曲线368

10.3.1 有理三次贝齐尔曲线的肩点与形状因子369

10.3.2 有理三次贝齐尔曲线的渐近方向371

10.3.3 有理三次贝齐尔曲线的特殊形式372

10.3.4 圆弧的有理三次贝齐尔表示与三次NURBS表示375

10.4 有理n次贝齐尔曲线382

10.4.1 有理德卡斯特里奥算法382

10.4.2 分割、插入节点与升阶384

10.4.3 有理贝齐尔曲线的几何作图386

10.4.4 有理n次贝齐尔曲线的权因子变换与参数变换388

10.4.5 有理贝齐尔曲线的形状修改391

10.4.6 导矢计算393

小结394

复习思考与练习395

第十一章 有理B样条曲线曲面Ⅲ398

11.1 有理参数曲线的连续性398

11.1.1 有理参数连续性约束399

11.1.2 有理几何连续性约束402

11.1.3 弗朗内特标架连续性403

11.1.4 有理弗朗内特标架连续性约束404

11.2 几何连续的有理样条曲线405

11.2.1 曲率连续有理二次样条曲线406

11.2.2 有理几何样条预备知识409

11.2.3 曲率连续有理三次样条曲线412

11.2.4 挠率连续有理四次样条曲线414

11.3 有理插值417

11.3.1 整体有理插值417

11.3.2 局部有理插值419

11.4 一般NURBS曲线及其计算421

11.5 NURBS曲线的形状修改425

11.5.1 重新定位控制顶点425

11.5.2 反插节点426

11.5.3 重新确定权因子428

11.5.4 同时改变两个权因子的推拉429

11.5.5 对界定曲线部分的修改430

小结431

复习思考与练习432

第十二章 有理B样条曲线曲面Ⅳ435

12.1 NURBS曲面方程及其性质435

12.1.1 NURBS曲面方程435

12.1.2 NURBS曲面的性质436

12.1.3 曲面权因子的几何意义437

12.2 常用曲面的NURBS表示438

12.2.1 一般柱面438

12.2.2 平面、圆柱面与圆锥面439

12.2.3 旋转面440

12.3 一般直纹面与蒙面法443

12.4 NURBS曲面的计算446

12.5 NURBS曲面的形状修改447

12.5.1 NURBS曲面形状修改的提出与要求447

12.5.2 用于曲面的反插节点448

12.5.3 重新确定NURBS曲面的权因子449

12.5.4 重新定位曲面控制顶点451

12.5.5 对界定曲面部分的修改451

小结454

复习思考与练习455

第十三章 孔斯曲面456

13.1 双线性混合孔斯曲面片456

13.2 局部双三次混合孔斯曲面片459

13.3 双三次混合孔斯曲面片460

13.3.1 双三次混合孔斯曲面片的生成460

13.3.2 扭矢估计461

13.3.3 扭矢相容性462

13.3.4 跨界切矢的确定463

13.4 孔斯曲面片的控制网格464

13.5 戈登曲面467

小结472

复习思考与练习473

第十四章 三边贝齐尔曲面片474

14.1 三边贝齐尔曲面片的表示474

14.1.1 重心坐标474

14.1.2 三角域上的伯恩斯坦基476

14.1.3 三边贝齐尔曲面片的方程478

14.2 德卡斯特里奥算法479

14.2.1 递推算法与几何作图479

14.2.2 曲面片的分割481

14.3 三边贝齐尔曲面片的升阶482

14.4 求方向导矢482

14.5 组合三边贝齐尔曲面片的连续性483

14.5.1 参数连续性483

14.5.2 几何连续性485

14.6 球面片的有理三边贝齐尔表示486

小结490

复习思考与练习490

结束语492

附录 CAGD NURBS辅助教学与研究两用软件简介494

参考文献497