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第1章 函数的极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 区间与邻域1

1.1.2 函数的定义2

1.1.3 函数的几何性质5

1.1.4 反函数7

1.1.5 复合函数8

1.1.6 基本初等函数与初等函数9

1.2 数列的极限11

1.2.1 数列的概念11

1.2.2 数列极限的定义12

1.2.3 数列极限的性质16

1.2.4 数列极限存在的准则17

1.2.5 数列的子列19

1.3 函数的极限21

1.3.1 自变量趋向于无穷大时函数的极限21

1.3.2 自变量趋向于有限值时函数的极限22

1.3.3 函数极限的性质25

1.3.4 函数极限存在的准则25

1.4 无穷小量与无穷大量26

1.4.1 无穷小量26

1.4.2 无穷大量28

1.5 极限的运算法则29

1.5.1 极限的四则运算法则29

1.5.2 运用极限的四则运算法则求极限举例30

1.5.3 复合函数的极限法则37

1.6 两个重要极限40

1.6.1 limx→0 sinx/x＝140

1.6.2 limx（1＋1/x）x→0＝e43

1.7 无穷小量阶的比较48

1.7.1 无穷小量阶的比较定义49

1.7.2 无穷小量的等价替代50

1.8 函数的连续性与间断点54

1.8.1 函数的连续性54

1.8.2 函数的间断点57

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性61

1.9.1 连续函数的运算61

1.9.2 初等函数的连续性61

1.9.3 闭区间上连续函数的性质63

综合练习题一65

第2章 导数与微分68

2.1 导数的概念68

2.1.1 引例68

2.1.2 导数的定义70

2.1.3 导数的几何意义76

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系77

2.2 导数的运算法则80

2.2.1 导数的四则运算法则81

2.2.2 反函数的求导法则83

2.2.3 复合函数的求导法则84

2.3 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法90

2.3.1 隐函数的求导法90

2.3.2 由参数方程所确定的函数的求导法92

2.3.3 由极坐标方程所确定的函数的求导法94

2.3.4 相关变化率95

2.4 函数的微分97

2.4.1 微分的定义97

2.4.2 可微与可导的关系98

2.4.3 基本初等函数的微分公式99

2.4.4 微分的运算法则100

2.4.5 微分的几何意义103

2.4.6 微分在近似计算中的应用104

2.5 高阶导数与高阶微分106

2.5.1 高阶导数106

2.5.2 高阶微分112

综合练习题二114

第3章 微分中值定理与导数的应用117

3.1 微分中值定理117

3.1.1 费马（Fermat）引理117

3.1.2 罗尔（Rolle）中值定理118

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理119

3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理122

3.2 洛必达法则123

3.2.1 洛必达法则123

3.2.2 其他类型的未定式125

3.2.3 需要注意的问题127

3.3 泰勒公式129

3.3.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式130

3.3.2 带有佩亚诺余项的泰勒公式132

3.4 函数的单调性与极值134

3.4.1 函数的单调性134

3.4.2 函数的极值137

3.4.3 函数的最大值和最小值142

3.5 曲线的凹凸、拐点与渐近线146

3.5.1 曲线的凹凸与拐点146

3.5.2 曲线的渐近线151

3.5.3 函数图形的描绘152

3.6 平面曲线的曲率155

3.6.1 弧微分156

3.6.2 曲率及其计算157

3.6.3 曲率圆与曲率半径161

综合练习题三163

第4章 积分167

4.1 定积分的概念与性质167

4.1.1 定积分问题举例167

4.1.2 定积分的定义169

4.1.3 定积分的几何意义171

4.1.4 定积分的性质172

4.2 原函数与微积分基本定理177

4.2.1 原函数177

4.2.2 积分上限的函数及其导数179

4.2.3 牛顿-莱布尼茨公式183

4.3 不定积分的概念186

4.3.1 不定积分的定义186

4.3.2 不定积分与微分的关系187

4.3.3 不定积分的性质189

4.3.4 不定积分的几何意义189

4.3.5 不定积分的直接积分法190

4.4 不定积分的换元积分法192

4.4.1 第一类换元积分法193

4.4.2 第二类换元积分法201

4.5 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分209

4.5.1 不定积分的分部积分法209

4.5.2 分段函数的不定积分214

4.6 有理函数的不定积分215

4.6.1 有理函数的不定积分215

4.6.2 三角函数有理式的积分223

4.7 定积分的换元法和分部积分法226

4.7.1 定积分的换元积分法226

4.7.2 定积分的分部积分法230

4.8 广义积分与Γ函数233

4.8.1 无穷区间上的广义积分233

4.8.2 无界函数的广义积分235

4.8.3 Γ函数238

综合练习题四240

第5章 定积分的应用244

5.1 微元法244

5.2 定积分的几何应用245

5.2.1 平面图形的面积245

5.2.2 体积249

5.2.3 平面曲线的弧长252

5.3 定积分的物理应用255

5.3.1 变力沿直线所做的功255

5.3.2 液体的压力256

综合练习题五257

第6章 微分方程259

6.1 微分方程的基本概念259

6.2 一阶微分方程262

6.2.1 可分离变量的微分方程262

6.2.2 齐次方程265

6.2.3 一阶线性微分方程267

6.2.4 伯努利（Bernoulli）方程271

6.3 可降阶的高阶微分方程274

6.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程274

6.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程275

6.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程276

6.4 二阶常系数线性微分方程278

6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构278

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程280

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程284

综合练习题六290

附录293

常用初等数学公式293

习题与综合练习题参考答案299

参考文献321