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上篇 数值算法分析1

第1章 绪论1

1.1 数值分析研究的对象与特点1

1.2 误差来源与误差分析的重要性2

1.3 误差的基本概念4

1.3.1 误差与误差限4

1.3.2 相对误差与相对误差限5

1.3.3 有效数字6

1.3.4 数值运算的误差估计7

1.4 数值运算中误差分析的方法与原则9

1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法9

1.4.2 要避免两相近数相减10

1.4.3 要防止大数“吃掉”小数11

1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数11

小结12

习题12

第2章 插值法14

2.1 引言14

2.2 Lagrange插值15

2.2.1 插值多项式的存在唯一性15

2.2.2 线性插值与抛物插值16

2.2.3 Lagrange插值多项式18

2.2.4 插值余项19

2.3 逐次线性插值法21

2.4 差商与Newton插值公式23

2.4.1 差商及其性质23

2.4.2 Newton插值公式24

2.5 差分与等距节点插值公式26

2.5.1 差分及其性质26

2.5.2 等距节点插值公式28

2.6 Hermite插值29

2.7 分段低次插值32

2.7.1 多项式插值的问题32

2.7.2 分段线性插值33

2.7.3 分段三次Hermite插值34

2.8 三次样条插值36

2.8.1 三次样条函数36

2.8.2 三转角方程37

2.8.3 三弯矩方程39

2.8.4 计算步骤与例题40

2.8.5 三次样条插值的收敛性41

小结42

习题43

第3章 函数逼近与计算45

3.1 引言与预备知识45

3.1.1 问题的提出45

3.1.2 Weierstrass定理46

3.1.3 连续函数空间C[a，b]47

3.2 最佳一致逼近多项式47

3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性47

3.2.2 Chebyshev定理48

3.2.3 最佳一次逼近多项式50

3.3 最佳平方逼近52

3.3.1 内积空间52

3.3.2 函数的最佳平方逼近54

3.4 正交多项式57

3.4.1 正交化手续57

3.4.2 Legendre多项式57

3.4.3 Chebyshev多项式60

3.4.4 其他常用的正交多项式62

3.5 函数按正交多项式展开63

3.6 曲线拟合的最小二乘法65

3.6.1 一般的最小二乘逼近65

3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合69

3.6.3 多元最小二乘拟合71

3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换71

3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值71

3.7.2 快速Fourier变换74

小结77

习题77

第4章 数值积分与数值微分80

4.1 引言80

4.1.1 数值求积的基本思想80

4.1.2 代数精度的概念81

4.1.3 插值型的求积公式82

4.2 Newton-Cotes公式82

4.2.1 Cotes系数82

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度84

4.2.3 几种低阶求积公式的余项85

4.2.4 复化求积法及其收敛性86

4.3 Romberg算法88

4.3.1 梯形法的递推化88

4.3.2 Romberg公式89

4.3.3 Richardson外推加速法91

4.3.4 梯形法的余项展开式92

4.4 Gauss公式93

4.4.1 Gauss点94

4.4.2 Gauss-Legendre公式95

4.4.3 Gauss公式的余项96

4.4.4 Gauss公式的稳定性96

4.4.5 带权的Gauss公式97

4.5 数值微分99

4.5.1 中点方法99

4.5.2 插值型的求导公式100

4.5.3 实用的五点公式102

4.5.4 样条求导103

小结104

习题104

第5章 常微分方程数值解法106

5.1 引言106

5.2 Euler方法106

5.2.1 Euler格式106

5.2.2 后退的Euler格式108

5.2.3 梯形格式109

5.2.4 改进的Euler格式110

5.2.5 Euler两步格式111

5.3 Runge-Kutta方法113

5.3.1 Taylor级数法113

5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想114

5.3.3 二阶Runge-Kutta方法115

5.3.4 三阶Runge-Kutta方法116

5.3.5 四阶Runge-Kutta方法118

5.3.6 变步长的Runge-Kutta方法119

5.4 单步法的收敛性和稳定性120

5.4.1 单步法的收敛性120

5.4.2 单步法的稳定性122

5.5 线性多步法124

5.5.1 基于数值积分的构造方法124

5.5.2 Adams显式格式125

5.5.3 Adams隐式格式126

5.5.4 Adams预测-校正系统127

5.5.5 基于Taylor展开的构造方法128

5.5.6 Milne格式130

5.5.7 Hamming格式131

5.6 方程组与高阶方程的情形132

5.6.1 一阶方程组132

5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组133

5.7 边值问题的数值解法134

5.7.1 试射法135

5.7.2 差分方程的建立135

5.7.3 差分问题的可解性137

5.7.4 差分方法的收敛性138

小结140

习题140

第6章 方程求根142

6.1 根的搜索142

6.1.1 逐步搜索法142

6.1.2 二分法142

6.2 迭代法144

6.2.1 迭代过程的收敛性144

6.2.2 迭代公式的加工147

6.3 Newton法149

6.3.1 Newton公式149

6.3.2 Newton法的几何解释150

6.3.3 Newton法的局部收敛性151

6.3.4 Newton法应用举例152

6.3.5 Newton下山法153

6.4 弦截法与抛物线法154

6.4.1 弦截法155

6.4.2 抛物线法156

6.5 代数方程求根158

6.5.1 多项式求值的秦九韶算法158

6.5.2 代数方程的Newton法159

6.5.3 劈因子法160

小结162

习题162

第7章 解线性方程组的直接方法164

7.1 引言164

7.2 Gauss消去法164

7.2.1 消元手续165

7.2.2 矩阵的三角分解168

7.2.3 计算量170

7.3 Gauss主元素消去法171

7.3.1 完全主元素消去法172

7.3.2 列主元素消去法173

7.3.3 Gauss-Jordan消去法175

7.4 Gauss消去法的变形178

7.4.1 直接三角分解法178

7.4.2 平方根法181

7.4.3 追赶法184

7.5 向量和矩阵的范数186

7.6 误差分析192

7.6.1 矩-阵的条件数192

7.6.2 舍入误差197

小结198

习题198

第8章 解线性方程组的迭代法202

8.1 引言202

8.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法204

8.2.1 Jacobi迭代法204

8.2.2 Gauss-Seidel迭代法205

8.3 迭代法的收敛性206

8.4 解线性方程组的超松弛迭代法213

小结217

习题217

第9章 矩阵的特征值与特征向量计算220

9.1 引言220

9.2 幂法及反幂法222

9.2.1 幂法222

9.2.2 加速方法225

9.2.3 反幂法227

9.3 Householder方法230

9.3.1 引言230

9.3.2 用正交相似变换约化矩阵232

9.4 QR算法237

9.4.1 引言237

9.4.2 QR算法239

9.4.3 带原点位移的QR方法242

小结246

习题246

下篇 高效算法设计248

第10章 快速算法设计：快速Walsh变换248

10.1 美的Walsh函数248

10.1.1 微积分的逼近法248

10.1.2 Walsh函数的复杂性249

10.1.3 Walsh分析的数学美250

10.2 Walsh函数代数化251

10.2.1 时基上的二分集251

10.2.2 Walsh函数的矩阵表示252

10.3 Walsh阵的二分演化252

10.3.1 矩阵的对称性复制253

10.3.2 Walsh阵的演化生成253

10.3.3 Walsh阵的演化机制254

10.3.4 Hadamard阵的演化生成255

10.4 快速变换FWT257

10.4.1 FWT的设计思想257

10.4.2 FWT的演化机制258

10.4.3 FWT的计算流程259

10.4.4 FWT的算法实现261

小结262

第11章 并行算法设计：递推计算并行化263

11.1 什么是并行计算263

11.1.1 一则寓言故事263

11.1.2 同步并行算法的设计策略264

11.2 叠加计算265

11.2.1 倍增技术265

11.2.2 二分手续267

11.2.3 数列求和的二分法268

11.2.4 多项式求值的二分法269

11.2.5 二分算法的效能分析270

11.2.6 二分算法的基本特征271

11.3 一阶线性递推272

11.3.1 相关链的二分手续272

11.3.2 算式的建立273

11.3.3 二分算法的效能分析275

11.4 三对角方程组275

11.4.1 相关链的二分手续276

11.4.2 算式的建立277

小结279

第12章 加速算法设计：重差加速技术281

12.1 千古疑案281

12.1.1 阿基米德的“穷竭法”281

12.1.2 祖冲之“缀术”之谜281

12.2 神来之笔282

12.2.1 数学史上一篇千古奇文282

12.2.2 “一飞冲天”的“刘徽神算”283

12.3 奇光异彩284

12.3.1 刘徽的新视野285

12.3.2 偏差比中传出好“消息”286

12.3.3 只要做一次“俯冲”286

12.3.4 差之毫厘，失之千里287

12.3.5 “缀术”再剖析288

12.3.6 平庸的新纪录289

12.4 万能引擎291

12.4.1 逼近加速的重差公设292

12.4.2 重差加速法则292

12.4.3 重差加速的逻辑推理293

第13章 总览294

13.1 算法重在设计294

13.1.1 算法设计关系到科学计算的成败294

13.1.2 算法设计追求简单与统一295

13.2 直接法的缩减技术295

13.2.1 数列求和的累加算法295

13.2.2 缩减技术的设计机理296

13.2.3 多项式求值的秦九韶算法297

13.3 迭代法的校正技术298

13.3.1 开方算法298

13.3.2 校正技术的设计机理299

13.4 迭代优化的超松弛技术300

13.4.1 超松弛技术的设计机理300

13.4.2 刘徽的“割圆术”300

13.5 递推加速的二分技术301

13.5.1 “结绳记数”的快速算法301

13.5.2 二分技术的设计机理302

小结303

部分习题答案305

参考文献308