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第三篇　时间相关问题389

第1章 抛物问题的有限元方法……黄明游1.1　热传导方程的初边值问题389

1.2　Galerkin有限元法394

1.3　时间变量离散化、全离散格式399

1.3.1　向后Euler-Galerkin格式400

1.3.2　Crank-Nicolson-Galerkin格式401

1.4　时间间断有限元法406

1.5　一般二阶线性抛物问题410

参考文献419

第2章 波动问题有限元法……邵秀民421

2.1　二阶波动方程组421

2.2　有界区域上波动方程的有限元法423

2.2.1　声波方程423

2.2.2　弹性波方程组430

2.3　波动方程的吸收边界条件435

2.3.1　单程波边界条件435

2.3.2　黏性边界条件438

2.4　无界区域上波动方程的有限元法439

2.5　Schr？dinger型方程的有限元近似443

参考文献450

第3章 对流占优扩散问题的有限元方法……孙澈3.1　对流占优扩散问题452

3.1.1　一个典型例子452

3.1.2　对流占优扩散模型问题453

3.1.3　对流占优扩散问题之解的性态453

3.2　迎风有限元方法456

3.2.1　Galerkin型迎风三角形法456

3.2.2　基于对偶剖分的迎风有限元方法458

3.2.3　离散格式的两个重要性质461

3.3　特征有限元方法462

3.3.1　模型问题及其特征有限元法462

3.3.2　CFE格式的稳定性与误差分析465

3.4　流线扩散（SD）有限元方法468

3.4.1　SD法的提出468

3.4.2　定常对流扩散问题的SD方法及其误差分析470

3.4.3　非定常对流扩散问题的SD方法473

3.5　差分-流线扩散（FDSD）有限元方法478

3.5.1　线性对流扩散问题的FDSD方法478

3.5.2　非线性对流扩散问题的FDSD方法481

3.5.3　FDSD预测校正格式485

3.5.4　交替方向FDSD格式488

3.6　差分-间断Galerkin（FDDG）方法491

3.6.1　非定常对流占优扩散问题的FDDG方法491

3.6.2　算子分裂——FDDG方法494

参考文献497

第4章 一阶双曲方程（组）有限元方法……周爱辉 应隆安 舒其望4.1　Galerkin有限元法500

4.2　Petrov-Galerkin方法503

4.3　间断有限元方法504

4.3.1　引言504

4.3.2　简单例子505

4.3.3　一维双曲标量方程的间断Galerkin方法507

4.3.4　多维双曲系统的DG方法512

4.4　有限体积法518

4.4.1　一阶格式518

4.4.2　高阶格式520

4.5　守恒律的有限元法520

4.5.1　流线扩散法520

4.5.2　迎风方法521

参考文献527

第四篇　有限元的超收敛、后处理和自适应第1章 有限元的超收敛性……陈传淼 朱起定1.1　引言533

1.2　单元正交分析法（EOA）简介535

1.2.1　单元正交分析法的基本思想535

1.2.2　区间上三种正交展开536

1.3　二阶椭圆有限元超收敛的两种基本结构538

1.4　一般区域的分块几乎均匀网格543

1.4.1　分块几乎均匀网格543

1.4.2　坐标变换545

1.5　朝奇点局部加密网格546

1.5.1　由角隅及边界条件引起的奇性546

1.5.2　λ等级网格和超收敛547

1.5.3　数例549

1.6　抛物与双曲问题的时空全离散有限元法551

1.6.1　常微分方程初值问题的有限元法551

1.6.2　时空全离散有限元的超收敛点是乘积型点553

1.7　线性问题的超收敛性对非线性问题自动有效554

参考文献557

第2章 有限元法的超收敛和后处理……林群 周爱辉2.1　圆周率的计算561

2.2　偏微分方程的特征值计算563

2.3　解的计算和后处理565

2.4　升阶572

第3章 有限元的后验估计及自适应……严宁宁 张志民3.1　引言578

3.2　梯度重构型后验误差估计579

3.3　残量型后验误差估计581

3.4　自适应有限元算法584

参考文献585

第五篇　有限元代数方程求解589

第1章 有限元代数方程求解的直接法……罗振东1.1　引言589

1.2　Gauss消元法593

1.2.1　顺序消元法593

1.2.2　按列选主元消元法595

1.3　三角分解消元法596

1.3.1　系数矩阵A=LU分解法596

1.3.2　用A=LU分解法求解方程组AX=F598

1.4　带状系数矩阵消元法599

1.4.1　一般的带状系数矩阵消元法599

1.4.2　三对角带状系数矩阵消元法600

1.5　计算实例601

参考文献604

第2章 预处理迭代法……刘播605

2.1　SOR迭代605

2.1.1　对称逐步超松弛迭代（SSOR）607

2.1.2　预处理方程与预处理器608

2.2　对称线性方程组的预处理共轭梯度法609

2.2.1　预处理共轭梯度法610

2.2.2　SSOR-PCG611

2.2.3　不完全因子分解612

2.3　非对称线性方程组的预处理迭代法616

2.3.1　Krylov子空间及其正交化算法617

2.3.2　求解线性方程组的正交化方法（FOM,IOM和DIOM）618

2.3.3　GMRES和ORTHOMIN算法622

2.3.4　双（正交）共轭梯度法（BCG）629

参考文献633

第3章 多层网格法……许进超 黄云清634

3.1　引言634

3.2　空间分解与子空间校正634

3.2.1　预备知识634

3.2.2　基本算法635

3.3　偏微分方程的空间分解639

3.3.1　模型问题与有限元离散639

3.3.2　高频的局部性640

3.3.3 两个简单的区域分解方法例子641

3.4　多层网格法643

3.4.1　区域分解视角下的一个基本多层网格循环644

3.4.2　收敛性分析645

3.4.3　等价公式646

3.4.4　BPX多层网格预条件子648

3.4.5　各向异性问题的多重网格法649

3.5　H（div）与H（curl）有限元空间及多层网格法649

3.5.1　有限元空间649

3.5.2　插值、正合序列与交换图表650

3.5.3　多层网格法651

3.6　代数多层网格法652

3.7　鞍点问题653

3.7.1　预条件MINRES方法654

3.7.2　Uzawa方法与扩张Lagrange方法655

参考文献659

第4章 区域分解算法……吕涛661

4.1　不重叠区域分解算法661

4.1.1　Steklov-Poincaré算子661

4.1.2　D-N交替法663

4.1.3　D-N交替法的有限元模拟664

4.1.4　有内交点的二维多子域区域分解666

4.2　重叠区域分解算法667

4.2.1　Schwarz交替法667

4.2.2　Schwarz算法的投影解释668

4.2.3　Schwarz算法的收敛速度分析669

4.2.4　加性Schwarz算法670

4.2.5　Schwarz算法的有限元模拟671

4.3　虚拟区域算法672

4.3.1　方法原理672

4.3.2　迭代算法673

4.4　快速自适应组合网格法675

4.4.1　乘性FAC算法675

4.4.2　加性FAC算法676

4.5　稀疏网与组合技巧677

4.5.1　稀疏网格法677

4.5.2 二维组合技巧679

4.5.3　三维组合技巧680

4.6　基于区域分解的有限元分裂外推680

4.6.1　多参数渐近展开与分裂外推681

4.6.2　直边区域情形682

4.6.3　全局细网格的外推算法683

参考文献686

第5章 有限元代数特征值问题……贾仲孝5.1　对称特征值问题688

5.1.1　乘幂法688

5.1.2　反幂法689

5.1.3　Rayleigh商迭代690

5.1.4　QR方法690

5.1.5　分二治之法691

5.1.6　Jacobi方法693

5.1.7　二分法695

5.1.8　子空间迭代法697

5.1.9　Lanczos方法698

5.1.10　块Lanczos方法700

5.2　非对称特征值问题701

5.2.1　精化的投影类方法703

5.2.2　Arnoldi方法和精化Arnoldi方法704

5.2.3　隐式重新启动技术706

参考文献707