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第一部分 一元微积分学1

第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 实数、区间与邻域2

1.1.3 函数的概念3

1.1.4 函数的简单性质5

1.1.5 反函数、复合函数和隐函数6

1.1.6 初等函数8

习题1—114

1.2 极限14

1.2.1 直观理解15

1.2.2 极限概念的严格化17

1.2.3 极限的性质及运算法则25

习题1—228

1.3 两个重要极限29

1.3.1 极限lim x→0 sin x/x=129

1.3.2 极限lim x→0(1+1/x)x=e30

习题1—333

1.4 函数的连续性34

1.4.1 函数的连续性概念34

1.4.2 函数的间断点37

1.4.3 闭区间上连续函数的性质38

习题1—440

本章小结41

典型例题分析41

复习题一43

阅读材料43

第2章 导数与微分46

2.1 导数的概念46

2.1.1 实例46

2.1.2 导数的定义47

2.1.3 导数的几何意义50

2.1.4 函数的可导性与连续性50

习题2—151

2.2 函数的求导法52

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法52

2.2.2 反函数的求导法54

2.2.3 复合函数的求导法56

习题2—258

2.3 初等函数的导数59

2.3.1 初等函数的导数公式59

2.3.2 高阶导数59

习题2—362

2.4 隐函数与函数的参数形式求导法62

2.4.1 隐函数的求导法62

2.4.2 函数的参数形式求导法64

习题2—465

2.5 微分及应用65

2.5.1 微分的概念65

2.5.2 微分的几何意义67

2.5.3 微分的基本公式和运算法则68

2.5.4 一阶微分形式的不变性69

2.5.5 微分在近似计算中的应用69

习题2—570

本章小结71

典型例题分析72

复习题二74

阅读材料75

第3章 中值定理与导数的应用77

3.1 中值定理77

3.1.1 费尔马定理77

3.1.2 罗尔中值定理78

3.1.3 拉格朗日中值定理79

3.1.4 柯西中值定理82

习题3—182

3.2 洛比达法则84

3.2.1 0/0型84

3.2.2 ∞/∞型86

3.2.3 其他待定型87

习题3—288

3.3 泰勒公式89

习题3—393

3.4 函数单调性的判别法93

习题3—495

3.5 函数的极值与最值问题95

3.5.1 数的极值95

3.5.2 函数的最大值与最小值97

习题3—599

3.6 曲线的凹凸性与拐点99

习题3—6102

3.7 函数图像的描绘102

3.7.1 斜渐近线的求法102

3.7.2 描绘函数图像的一般步骤103

习题3—7105

3.8 方程的近似解105

3.8.1 二分法106

3.8.2 切线法106

习题3—8107

本章小结107

典型例题分析109

复习题三111

阅读材料112

第4章 不定积分115

4.1 不定积分的概念115

4.1.1 原函数115

4.1.2 不定积分116

4.1.3 不定积分的几何意义117

习题4—1117

4.2 不定积分的性质与基本积分公式117

4.2.1 不定积分的性质117

4.2.2 基本积分公式119

习题4—2121

4.3 换元积分法121

4.3.1 第一类换元法（凑微分法）121

4.3.2 第二类换元法128

习题4—3133

4.4 分部积分法134

习题4—4138

4.5 几种特殊类型函数的积分139

4.5.1 有理函数的积分139

4.5.2 三角函数的有理式的积分145

4.5.3 简单无理函数的积分147

习题4—5148

本章小结149

典型例题分析150

复习题四151

阅读材料152

第5章 定积分154

5.1 定积分的概念154

5.1.1 两个实例154

5.1.2 定积分的定义157

5.1.3 定积分的几何意义158

5.1.4 可积函数类159

习题5—1160

5.2 定积分的性质160

习题5—2164

5.3 微积分基本定理164

5.3.1 变限积分函数及其导数165

5.3.2 牛顿—莱布尼茨公式167

习题5—3170

5.4 定积分的积分法171

5.4.1 定积分的换元法171

5.4.2 定积分的分部积分法175

习题5—4178

5.5 广义积分（初步）179

5.5.1 无穷区间上的广义积分179

5.5.2 无界函数的广义积分181

习题5—5182

5.6 定积分的应用183

5.6.1 微元法183

5.6.2 平面图形的面积184

5.6.3 旋转体的体积189

5.6.4 平行截面面积为已知的立体体积192

5.6.5 平面曲线的弧长193

习题5—6196

本章小结198

典型例题分析199

复习题五201

阅读材料204

第6章 无穷级数206

6.1 数项级数206

6.1.1 数项级数的概念206

6.1.2 收敛级数的一般性质209

6.1.3 正项级数及收敛判别法210

6.1.4 任意项级数的收敛和判别215

习题6—1217

6.2 幂级数218

6.2.1 函数项级数的概念218

6.2.2 函数项级数的一致收敛和性质220

6.2.3 幂级数及其收敛性222

6.2.4 幂级数的运算224

6.2.5 函数的幂级数展开及应用225

习题6—2230

本章小结231

典型例题分析232

复习题六234

阅读材料235

第二部分 线性代数238

第7章 行列式238

7.1 行列式的定义238

7.1.1 二阶和三阶行列式238

7.1.2 n阶行列式的定义241

习题7—1245

7.2 行列式的性质和计算246

7.2.1 行列式的性质246

7.2.2 行列式的计算——化三角形式法249

习题7—2251

7.3 行列式按行（列）展开253

7.3.1 余子式和代数余子式的概念253

7.3.2 行列式的计算——降阶法255

习题7—3258

7.4 克拉默法则259

习题7—4261

本章小结262

典型例题分析263

复习题七267

阅读材料268

第8章 矩阵269

8.1 矩阵的概念和运算269

8.1.1 矩阵的概念269

8.1.2 矩阵的运算272

8.1.3 矩阵的转置278

8.1.4 方阵的行列式279

8.1.5 分块矩阵281

习题8—1284

8.2 可逆矩阵285

习题8—2291

8.3 初等变换与初等矩阵292

8.3.1 矩阵的初等变换292

8.3.2 初等矩阵295

8.3.3 用初等变换求逆矩阵297

习题8—3299

8.4 矩阵的秩300

习题8—4303

8.5 线性方程组304

习题8—5310

本章小结311

典型例题分析313

复习题八316

阅读材料317

第9章 向量组319

9.1 n维向量319

习题9—1321

9.2 向量组的线性关系321

9.2.1 线性组合322

9.2.2 向量组的线性相关性327

9.2.3 向量组相关性的判别定理329

习题9—2332

9.3 向量组的秩333

习题9—3337

9.4 线性方程组解的结构338

9.4.1 齐次线性方程组解的结构338

9.4.2 非齐次线性方程组解的结构344

习题9—4346

9.5 向量空间348

9.5.1 向量空间的概念348

9.5.2 向量空间的基和维数349

习题9—5350

本章小结351

典型例题分析352

复习题九354

阅读材料357

第10章 相似矩阵与二次型358

10.1 矩阵的特征根与特征向量358

习题10—1363

10.2 相似矩阵363

10.2.1 相似矩阵的定义与性质363

10.2.2 n阶矩阵可以对角化的条件364

习题10—2368

10.3 对称矩阵的对角化369

10.3.1 向量的内积369

10.3.2 正交向量组370

10.3.3 正交矩阵372

10.3.4 实对称矩阵的特征根与特征向量374

习题10—3377

10.4 二次型及其标准形378

10.4.1 二次型及矩阵表示378

10.4.2 标准形380

10.4.3 使用正交变换化二次型为标准形381

10.4.4 使用配方法化二次型为标准形385

10.4.5 初等变换法化二次型为标准形387

10.4.6 正定二次型388

习题10—4390

本章小结392

典型例题分析393

复习题十396

阅读材料399

第三部分 概率与数理统计初步第11章 事件与概率401

11.1 随机事件401

11.1.1 随机试验与事件401

11.1.2 样本空间402

11.1.3 事件的关系和运算402

习题11—1405

11.2 概率的计算406

11.2.1 事件的频率与概率407

11.2.2 古典概率408

11.2.3 概率的性质409

习题11—2410

11.3 条件概率公式411

11.3.1 条件概率411

11.3.2 乘法公式412

11.3.3 全概公式413

11.3.4 贝叶斯公式415

习题11—3417

11.4 事件的独立性与伯努利概型417

11.4.1 事件的独立性417

11.4.2 伯努利概型419

习题11—4420

本章小结421

典型例题分析422

复习题十一424

阅读材料425

第12章 随机变量及分布428

12.1 随机变量的概念428

习题12—1429

12.2 离散型随机变量及概率分布429

12.2.1 离散型随机变量的概率分布430

12.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布431

习题12—2434

12.3 连续型随机变量及概率密度435

12.3.1 连续型随机变量的概率密度435

12.3.2 常见的连续型分布436

习题12—3440

12.4 随机变量的分布函数440

12.4.1 离散型随机变量的分布函数441

12.4.2 连续型随机变量的分布函数442

习题12—4444

12.5 随机变量函数的分布445

12.5.1 离散型随机变量函数的分布445

12.5.2 连续型随机变量函数的分布446

习题12—5448

本章小结448

典型例题分析449

复习题十二451

阅读材料452

第13章 随机变量的数字特征454

13.1 数学期望454

13.1.1 离散型随机变量的数学期望455

13.1.2 连续型随机变量的数学期望456

13.1.3 随机变量函数的数学期望457

13.1.4 数学期望的性质458

习题13—1458

13.2 方差459

13.2.1 方差的定义459

13.2.2 常见随机变量的方差460

13.2.3 方差的性质461

习题13—2462

本章小结463

典型例题分析464

复习题十三464

阅读材料466

第14章 数理统计初步468

14.1 数理统计的基本概念468

14.1.1 总体与样本468

14.1.2 频率分布表与直方图470

14.1.3 经验分布函数472

习题14—1473

14.2 统计量及分布474

14.2.1 统计量474

14.2.2 统计三大分布475

14.2.3 正态总体下的抽样分布477

习题14—2479

14.3 参数估计480

14.3.1 参数估计的概念480

14.3.2 矩估计法480

14.3.3 极大似然估计法481

14.3.4 估计量优良性标准483

习题14—3484

本章小结485

典型例题分析486

复习题十四487

阅读材料487

答案491

附录525