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1.1 基本概念和定义1

第一章 绪论1

1.2 线性算子4

1.3 定解问题6

1.4 迭加原理7

第一章习题10

第二章 数学模型12

2.1 典型方程12

2.2 弦的振动12

2.3 膜的振动14

2.4 在弹性介质中的波16

2.5 在固体中的热传导19

2.6 引力势21

第二章习题23

3.1 两个自变量的二阶方程25

第三章 二阶方程的分类25

3.2 标准形式27

3.3 常系数方程33

3.4 通解37

3.5 小结与进一步的简化38

第三章习题40

第四章 柯西问题42

4.1 柯西问题42

4.2 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理。阿达玛的例子45

4.3 齐次波动方程的柯西问题46

4.4 初边值问题53

4.5 非齐次波动方程的柯西问题58

4.6 黎曼方法61

7.3 贝塞尔函数62

第四章习题67

第五章 傅里叶级数70

5.1 分段连续函数70

5.2 偶函数和奇函数73

5.3 周期函数75

5.4 正交性76

5.5 傅里叶级数77

5.6 平均收敛。完备性80

5.7 傅里叶级数的例题81

5.8 余弦级数和正弦级数86

5.9 复数形式的傅里叶级数90

5.10 区间的变换91

5.11 傅里叶级数的逐点收敛性94

5.12 傅里叶级数的一致收敛性99

5.13 傅里叶级数的微分法和积分法101

5.14 二重傅里叶级数106

第五章习题108

第六章 分离变量法114

6.1 分离变量114

6.2 弦振动问题118

6.3 弦振动问题解的存在性和唯一性123

6.4 热传导问题129

6.5 热传导问题解的存在性和唯一性132

6.6 拉普拉斯方程和梁的方程136

6.7 非齐次问题139

6.8 有限傅里叶变换142

第六章习题147

第七章 本征值问题152

7.1 斯图姆-刘维尔问题152

7.2 本征函数156

7.4 奇异斯图姆-刘维尔问题168

7.5 勒让德函数171

7.6 常微分方程边值问题和格林函数176

7.7 格林函数的构造181

7.8 广义格林函数185

7.9 本征值问题和格林函数186

第七章习题188

第八章 边值问题193

8.1 边值问题193

8.2 最大值和最小值原理195

8.3 唯一性和稳定性定理197

8.4 圆的狄利克莱问题198

8.5 圆环的狄列克莱问题204

8.6 圆的诺依曼问题205

8.7 矩形的狄利克莱问题207

8.8 泊松方程的狄利克莱问题210

8.9 矩形的诺依曼问题213

第八章习题216

第九章 高维问题221

9.1 立方体的狄利克莱问题221

9.2 圆柱体的狄利克莱问题223

9.3 球的狄利克莱问题227

9.4 波动方程和热传导方程232

9.5 膜的振动233

9.6 矩形板的热传导234

9.7 三维空间的波236

9.8 长方体中的热传导238

9.9 氢原子239

9.10 用本征函数法解非齐次问题243

9.11 膜的受迫振动243

9.12 与时间有关的边界条件246

第九章习题249

10.1 δ函数255

第十章 格林函数255

10.2 格林函数256

10.3 格林函数法258

10.4 拉普拉斯算子的狄利克莱问题260

10.5 亥姆霍兹算子的狄利克莱问题263

10.6 静电源象法264

10.7 本征函数法267

10.8 高维问题270

10.9 诺依曼问题273

第十章习题275

第十一章 积分变换279

11.1 傅里叶变换279

11.2 傅里叶变换的性质285

11.3 卷积及其傅里叶变换289

11.4 阶梯函数和脉冲函数的傅里叶变换292

11.5 半无限区域295

11.6 汉克尔变换和梅林变换297

11.7 拉普拉斯变换297

11.8 拉普拉斯变换的性质299

11.9 卷积及其拉普拉斯变换303

11.10 阶梯函数和脉冲函数的拉普拉斯变换306

11.11 格林函数313

第十一章习题315

附录321

A.1 伽马函数321

A.2 傅里叶变换表322

A.3 拉普拉斯变换表323

参考书目324

习题答案330

中文主题索引347