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第一章 极限与连续性1

§1．1 预备知识1

1．1．1 集合与笛卡儿乘积1

1．1．2 映射与函数2

1．1．3 初等函数4

1．1．4 实数基本定理6

习题1．17

§1．2 极限8

1．2．1 数列的极限8

1．2．2 函数的极限12

1．2．3 无穷小量16

1．2．4 极限的四则运算法则18

习题1．2(1)20

1．2．5 极限的存在准则·实数基本定理(续)22

1．2．6 两个基本极限26

1．2．7 无穷小量的阶与主部29

习题1．2(2)30

1．2．8 级数的基本概念31

习题1．2(3)35

§1．3 连续函数36

1．3．1 连续函数概念36

1．3．2 连续函数的运算法则38

1．3．3 连续函数的性质·一致连续性41

习题1．344

第二章 导数与微分46

§2．1 导数46

2．1．1 速度与切线问题46

2．1．2 导数的定义47

2．1．3 求导法则49

1)导数的四则运算法则49

2)反函数求导法则50

3)复合函数求导法则51

5)参数式函数求导法则53

4)隐函数求导法则53

6)取对数求导法则54

2．1．4 导数基本公式表54

2．1．5 高阶导数55

习题2．157

§2．2 微分59

2．2．1 微分概念59

2．2．2 微分的应用61

2．2．3 高阶微分62

2．3．1 中值定理63

习题2．263

§2．3 微分学中值定理63

2．3．2 泰勒公式66

2．3．3 常田的马克劳林展式68

习题2．369

§2．4 导数的应用71

2．4．1 未定式的极限71

习题2．4(1)77

2．4．2 函数的单调性与极值78

2．4．3 最大值与最小值81

2．4．4 函数的凸性与拐点82

2．4．5 渐近线85

1)铅直渐近线85

2)水平渐近线85

3)斜渐近线85

2．4．6 函数作图87

习题2．4(2)88

2．4．7求函数零点的数值方法90

习题2．4(3)92

§3．1 不定积分93

3．1．1 不定积分概念93

第三章 一元函数积分学93

3．1．2 积分基本公式表94

3．1．3 换元积分法95

3．1．4 分部积分法99

习题3．1(1)101

3．1．5 有理函数的积分102

3．1．6 三角函数有理式的积分105

3．1．7 简单无理函数的积分106

3．1．8 原函数非初等函数的积分107

习题3．1(2)108

3．2．1 基本概念109

§3．2 简单的微分方程109

3．2．2 可分离变量的方程110

3．2．3 齐次方程111

习题3．2(1)114

3．2．4一阶线性方程114

3．2．5JL类特殊的二阶方程117

习题3．2(2)119

§3．3 定积分120

3．3．1 定积分的定义120

3．3．2 函数的可积性123

3．3．3 定积分的性质·积分中值定理125

6．1．6 连续函数的性质·一致连续性127

习题3．3(1)128

3．3．4 定积分的计算130

1)牛顿-莱布尼兹公式130

2)换元积分法132

3)分部积分法134

3．3．5 数值积分方法136

1)梯形法136

2)辛普森法137

3)龙贝格法138

习题3．3(2)139

§3．4 定积分的应用141

3．4．1 微元法141

1)平面图形的面积142

3．4．2 定积分在几何上的应用142

2)横截面面积可求的立体体积144

3)平面曲线的弧长146

6．4．3 二元函数的泰勒公式146

4)旋转曲面的面积147

5)平面曲线的曲率149

3．4．3 定积分在物理上的应用150

1)引力·压力·功150

2)质心·形心151

3)转动惯量152

习题3．4153

§3．5 广义积分155

3．5．1 两类广义积分的定义155

3．5．2 基本性质157

3．5．3 基本公式158

习题3．5159

第四章 线性代数初步161

§4．1 矩阵及其运算161

4．1．1 矩阵概念161

4．1．2 矩阵的线性运算162

4．1．4 矩阵的乘法163

4．1．3 矩阵的转置163

习题4．1165

§4．2 矩阵的行列式166

4．2．1 行列式的定义166

4．2．2 行列式的性质168

4．2．3 行列式的计算172

习题4．2175

§4．3 3维空间的向量177

4．3．1 空间直角坐标系177

4．3．2 3维空间的向量的几何性质178

4．3．3 3维空间的向量的代数运算180

1)加法与数乘180

2)内积183

3)外积185

4)混合积187

习题4．3189

§4．4 向量函数的导数与积分191

4．4．1 向量函数的极限191

4．4．2 向量函数的导数192

4．4．3 向量函数的积分193

习题4．4194

§5．1 平面与直线195

5．1．1 平面的方程195

第五章 空间解析几何195

5．1．2 直线的方程198

5．1．3 直线与平面的关系202

5．1．4 平面束203

习题5．1205

§5．2 空间曲面206

5．2．1 球面206

5．2．2 柱面207

5．2．3 锥面208

5．2．4 旋转曲面209

5．2．5 坐标变换212

5．2．6 二次曲面的标准方程214

习题5．2215

5．3．1 曲线的一般式方程216

§5．3 空间曲线216

5．3．3 空间曲线在坐标平面上的投影217

5．3．2 曲线的向量式方程217

习题5．3218

第六章 多元函数微分学220

§6．1 多元函数的极限与连续性220

6．1．1 点集基本知识220

6．1．1 多元函数概念221

6．1．3 多元函数的极限224

6．1．4 累次极限226

6．1．5 多元函数的连续性227

习题6．1228

§6．2 偏导数与全微分230

6．2．1 偏导数230

6．2．2 全微分232

习题6．2235

§6．3 复合函数与隐函数的偏导数236

6．3．1 复合函数的偏导数236

6．3．2 隐函数存在定理·隐函数的偏导数239

习题6．3242

§6．4 高阶偏导数与高阶微分243

6．4．1 高阶偏导数243

6．4．2 高阶微分245

习题6．4248

6．5．1 空间曲线的切线与法平面250

§6．5 偏导数在几何上的应用250

6．5．2 空间曲面的切平面与法线252

习题6．5254

§6．6 极值与条件极值255

6．6．1 极值的定义与必要条件255

6．6．2 极值的充分条件256

6．6．3 最大值与最小值258

6．6．4 条件极值(拉格朗日乘数法)259

习题6．6263

§6．7方向导数264

习题6．7266

§7．1 二重积分267

7．1．1 二重积分的定义267

第七章 重积分267

7．1．2 二重积分的性质268

7．1．3 二重积分的计算(累次积分法)269

习题7．1(1)273

7．1．4 二重积分的计算(换元积分法)275

习题7．1(2)281

§7．2 三重积分283

7．2．1 三重积分的定义与性质283

7．2．2 三重积分的计算(累次积分法)284

习题7．2(1)288

7．2．3 三重积分的计算(换元积分法)289

习题7．2(2)294

1)立体的体积295

7．3．1 重积分在几何上的应用295

§7．3 重积分的应用295

2)曲面的面积298

7．3．2 重积分在物理上的应用300

1)引力300

2)质心301

3)转动惯量304

习题7．3305

§7．4 广义重积分简介306

7．4．1 两类广义二重积分的定义306

7．4．2 敛散性判别法306

习题7．4307

习题答案与提示308

附录Ⅰ 圆的周长与面积326

附录Ⅱ 行列式的逆序法定义328